Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free
<h3 id="back-link"><a href="/ru#1.5">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$1.5.8.$ Постройте траектории точек колеса, катящегося без проскальзывания по рельсу. Рассмотрите случаи, когда точки находятся от оси колеса на расстоянии: $r > R,\\; r = R,\\; r < R$. Найдите ускорение этих точек, если ось колеса движется с постоянной скоростью $v$. Найдите радиус кривизны траектории точки, находящейся в высшем и низшем положениях на расстоянии $r \neq R$ от оси колеса.
</p>
<h3> Решение: </h3>
<center>
<figure>
<img src="Cycloid_animated_.gif"
loading="lazy" width="500" />
<figcaption>
Циклоида - сумма поступательного и вращательного движения
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>В данном случае, движение точек складывается из суммы поступательной скорости центра колеса и скорости вращения относительно этого центра, а ускорение точки высчитывается по обычной формуле центростремительного ускорения
</p>
<p class="exp">$\fbox{$a = \omega ^2 r = (v^2/R^2)r$}$</p>
<p>Для случая $r< R$, учитывая как вращательное так и поступательное движение, точка, расположенная на расстоянии $r$ в верхней точке своей траектории имеет скорость </p>
<p class="exp">$$u = \omega r + v = v(1 + \frac{r}{R})$$</p>
<p>Зная ускорение $a$ и скорость $u$ в данной точке, найдем ее радиус кривизны</p>
<p class="exp">$$r = \frac{u^2}{a}$$</p>
<p class="exp">$$\fbox{$r = \frac{(R+r)^2}{r}$}$$</p>
<p>Для большего понимания предлагаю иллюстрацию движения:</p>
<div class="video-container">
<iframe class="video" src='https://www.youtube.com/embed/XgqOLWkicFc' frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
</div>
<h3> Ответ: </h3>
<p class="exp">$a=(v^2/R^2)r; r_{в}=(R+r)^2/r, r_{н}=(R-r)^2/r.$</p>
Savchenko Solutions