а. Математический маятник — железный шарик массы m, висящийна длинной нити, — имеет период T_{0}. В присутствии магнита, расположенногочуть ниже шарика, период колебаний стал равным T. Определите действующуюна шарик магнитную силу.<br>б. Железный шарик маятника поместили между полюсами магнита так, чтона него действует горизонтальная магнитная сила. Найдите эту силу и новое положение равновесия шарика, если период его колебаний после включения магнитного поля стал равным T.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#3.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $3.2.7.$ а. Математический маятник — железный шарик массы $m$, висящий

на длинной нити, — имеет период $T_{0}$. В присутствии магнита, расположенного
чуть ниже шарика, период колебаний стал равным $T$. Определите действующую
на шарик магнитную силу.

б. Железный шарик маятника поместили между полюсами магнита так, что
на него действует горизонтальная магнитная сила. Найдите эту силу и новое положение равновесия шарика, если период его колебаний после включения магнитного поля стал равным $T$.

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        а) Период колебаний математического маятника

$$T_{0}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}; \quad T = \frac{2\pi}{\omega}\quad(1)$$
Уравнение гармонических колебаний
$$m\ddot{x}=- (mg + F)sin\varphi = - (mg + F)\frac{x}{l}$$
Откуда угловая частота колебаний
$$\omega = \sqrt{\frac{mg+F}{ml}}$$
Из $(1)$
$$\frac{T^{2}}{T_{0}^{2}}=\frac{mg}{mg + F} \Rightarrow \fbox{$F =\frac{mg(T_{0}^{2}-T^{2})}{T^{2}}$}$$
б) Для второго случая запишем уравнение гармонических колебаний
$$m\ddot{x}=- \left(\sqrt{(mg)^{2} + F^{2}}\right)\sin\varphi$$
Учитывая приближение значение $\sin\varphi =\frac{x}{l}$
$$m\ddot{x} = - (\sqrt{(mg)^{2} + F^{2}})\frac{x}{l}$$
Решая уравнение гармонических колебаний вида $\ddot{x}+\omega^2x=0$, получаем угловую частоту
$$\omega =\sqrt{\frac{\sqrt{(mg)^{2}+F^{2}}}{ml}}$$
Аналогично, подставляя в $(1)$
$$\frac{T_{0}^{4}}{T^{4}} = \frac{(mg)^{2}+ F^{2}}{(mg)^{2}} \Rightarrow \fbox{$F = mg\sqrt{\frac{T_{0}^{4}-T^{4}}{T^{4}}}$}$$

	  <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
	  Dzikan Mikita<br>
	</p>
	<h3>
		Альтернативное решение:
	</h3>
	<div class="solutions">
		<img class="ScreenS" src="01.jpg">
	</div>

	  <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
	  Aliaksandr Kanashenka<br>
	</p>

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$F =\frac{mg(T_{0}^{2}-T^{2})}{T^{2}};\quad F = mg\sqrt{\frac{T_{0}^{4}-T^{4}}{T^{4}}}$$
    </p>


<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>