Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
    	$2.2.47^*.$ Скорость газа, выбрасываемого ракетой, относительно нее равна $u=2 \text{ км/с}$. Оцените начальную массу ракеты, которая может вывести на орбиту Земли спутник массы $M_2=10^4 \text{ кг}$. Как изменится результат при вдвое большей скорости истечения газа?
    </p>

		<h3> Решение: </h3>

    <center>
      <figure>
        <img src="draw.jpg"
          loading="lazy" width="350" />
        <figcaption>
            Схема движения ракеты
        </figcaption>
      </figure>
    </center>

    <p>
        Запишем закон сохранения импульса за малый промежуток времени
        $$Mv = (M+dm)(v+dv) - dm(v+u)$$
        $$Mv = Mv + dmu + mdv$$
        $$dmu = -mdv$$
        Откуда получаем соотношение
        $$-\frac{dm}{m} = \frac{dv}{u}$$
        Интегрируем обе части уравнения
        $$-\int_{M_1}^{M_2}\frac{dm}{m} = \int_{v_1}^{v_2}\frac{dv}{u}$$
        $$\boxed{\ln \frac{M_1}{M_2} = \frac{\Delta{v}}{u}} \quad\text{(1)}$$
        Это уравнение называется <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Tsiolkovsky_rocket_equation" target="_blank">формулой Циалковского</a>
    </p>
    <p>
        Чтобы вывести тело на орбиту, ему необходимо задать первую космическую скорость
        $$v = \Delta v = \sqrt{G\frac{M}{R}} = 7.9 \text{ км/с}$$
        Подставляем в $\text{(1)}$ и получаем $M_2$
        $$M_1 = M_2 e^{\frac{v}{u}} = 5.2 \cdot 10^5 \text{ кг}$$
    </p>
    <h4>
    	Ответ: 
    </h4>
    <p>$m ≈ 5.5 \cdot 10^5 \text{ кг};$ в $7.4$ раза меньше</p>

    <footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>