Определите время полета камня от одного полюса Земли до другогопо прямому тоннелю, прорытому через центр. Плотность Земли считать постоянной, ее радиус — равным 6400 км.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#3.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $3.2.12.$ Определите время полета камня от одного полюса Земли до другого

по прямому тоннелю, прорытому через центр. Плотность Земли считать постоянной, ее радиус — равным 6400 км.

    <h3>Решение</h3>

На тело, на расстоянии $x$ от ядра, будет действовать гравитационная сила притяжения вызванная внутренними слоями планеты плотности $\rho$, образующих шар радиуса $x$. Масса этой части земли $$M_\oplus = \frac{4}{3} \rho\pi x^3$$ Гравитационная сила, дествующая на камень на глубине $x$ $$F_G = \frac{GmM_\oplus}{x^2}=mg\frac{x}{R}$$ Второй закон Ньютона $$m\ddot{x}(t)=-\frac{mg}{R}x(t)$$ Запишем уравнение гармонических колебаний $$\ddot{x}(t)+\frac{g}{R}x(t)=0$$ Угловая частота таких колебаний $$\omega=\sqrt{\frac{g}{R}}\Rightarrow T=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$$ Т.к. нас интересует время полёта только в одну сторону, поэтому берём половину этого периода $$\boxed{t=\frac{T}{2}=\pi\sqrt{\frac{R}{g}}=42\text{ min}}$$

Dzikan Mikita
Aliaksandr Kanashenka

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$t=42\text{ min}$$
    </p>


<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>