$3.3.1.$ Тело массы $m$, прикрепленное к пружине, свободно колеблется. Смещение тела зависит от времени по закону $x = A \cosωt$. Как меняются со временем скорость и ускорение? Как зависит сила, действующая на тело, от его смещения и от времени? Чему равна жесткость пружины?
+
$3.3.1.$ Тело массы $m$, прикрепленное к пружине, свободно колеблется. Смещение тела зависит от времени по закону $x = A \cos\omegat$. Как меняются со временем скорость и ускорение? Как зависит сила, действующая на тело, от его смещения и от времени? Чему равна жесткость пружины?
</p>
<h3> Решение: </h3>
<p>
Координата зависит от времени по закону
−
$$x(t) = A \cosωt$$
+
$$x(t) = A \cos\omegat$$
Дифференцируем по времени и получаем зависимость скорости от времени
−
$$\frac{dx}{dt} = A \frac{d}{dt}\cosωt$$
+
$$\frac{dx}{dt} = A \frac{d}{dt}\cos\omegat$$
$$\boxed{v=-A\omega\sin\omega t}$$
Аналогично, дифференцируем скорость, чтобы получить ускорение
$$\frac{dv}{dt} = -A\omega\frac{d}{dt}\sin\omega t $$
$$\boxed{a=-A\omega^2\cos\omega t}$$
По второму закону Ньютона, сила действующая на тело определяется как
$$F = ma$$
$$\boxed{F=-mA\omega^2\cos\omega t = -m\omega^2x}$$
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
$3.3.1.$ Тело массы $m$, прикрепленное к пружине, свободно колеблется. Смещение тела зависит от времени по закону $x = A \cosωt$. Как меняются со временем скорость и ускорение? Как зависит сила, действующая на тело, от его смещения и от времени? Чему равна жесткость пружины?
$3.3.1.$ Тело массы $m$, прикрепленное к пружине, свободно колеблется. Смещение тела зависит от времени по закону $x = A \cos\omegat$. Как меняются со временем скорость и ускорение? Как зависит сила, действующая на тело, от его смещения и от времени? Чему равна жесткость пружины?
</p>
</p>
<h3> Решение: </h3>
<h3> Решение: </h3>
<p>
<p>
Координата зависит от времени по закону
Координата зависит от времени по закону
$$x(t) = A \cosωt$$
$$x(t) = A \cos\omegat$$
Дифференцируем по времени и получаем зависимость скорости от времени
Дифференцируем по времени и получаем зависимость скорости от времени
$$\frac{dx}{dt} = A \frac{d}{dt}\cosωt$$
$$\frac{dx}{dt} = A \frac{d}{dt}\cos\omegat$$
$$\boxed{v=-A\omega\sin\omega t}$$
$$\boxed{v=-A\omega\sin\omega t}$$
Аналогично, дифференцируем скорость, чтобы получить ускорение
Аналогично, дифференцируем скорость, чтобы получить ускорение
$$\frac{dv}{dt} = -A\omega\frac{d}{dt}\sin\omega t $$
$$\frac{dv}{dt} = -A\omega\frac{d}{dt}\sin\omega t $$
$$\boxed{a=-A\omega^2\cos\omega t}$$
$$\boxed{a=-A\omega^2\cos\omega t}$$
По второму закону Ньютона, сила действующая на тело определяется как
По второму закону Ньютона, сила действующая на тело определяется как
$$F = ma$$
$$F = ma$$
$$\boxed{F=-mA\omega^2\cos\omega t = -m\omega^2x}$$
$$\boxed{F=-mA\omega^2\cos\omega t = -m\omega^2x}$$
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
