Решебник Савченко
<h3 id="back-link"><a href="/ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$2.1.26^*.$ По деревянным сходням, образующим угол $\alpha$ с горизонтом, втаскивают за привязанную к нему веревку ящик. Коэффициент трения ящика о сходни $\mu$. Под каким углом к горизонту следует тянуть веревку, чтобы с наименьшим усилием втащить ящик?
</p>
<center>
<figure>
<img src="statement.png"
loading="lazy" width="250" />
<figcaption>
К задаче 2.1.26
</figcaption>
</figure>
</center>
<h3> Решение: </h3>
<center>
<figure>
<img src="phys11917.png"
loading="lazy" width="250" />
<figcaption>
Схема задачи
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>Рассмотрим силы, действующие на ящик (рис.). Это - сила тяжести $ m \vec{g} $, сила натяжения веревки $ \vec{F} $, сила реакции соударения $ \vec{N} $ и сила трения $ \vec{F}_{тр} $, величина которой $ \vec{F}_{тр} = \mu N $. Спроктируем все силы на направление вдоль схождения и перпендикулярно к ним и запишем соответственные уравнения движения.</p>
<p>Так как ящик не перемещается в направлении, перпендикулярном схождению, то сумма проекций сил на это направление должна быть равна нулю, то есть</p>
\\[
N + F \sin ( \beta - \alpha ) - mg \cos\alpha = 0, \tag{1}
\\]
<p>Вдоль схождения ящик движется с ускорением $ a $ (в частном случае при равномерном движении $ a = 0 $), поэтому сумма проекций сил должна быть равна $ ma $:</p>
\\[
F \cos( \beta - \alpha ) - mg \sin\alpha - \mu N = ma. \tag{2}
\\]
<p>Из уравнений (1) и (2) получаем:</p>
\\[
F = \frac{ma + mg ( \sin\alpha + \mu\cos\alpha )}{ \cos ( \beta - \alpha ) + \mu\sin ( \beta - \alpha ) }. \tag{3}
\\]
<p>В полученное выражение для силы $ F $ угол $ \beta$ входит только знаменатель. Следовательно, величина силы $ F $ будет минимальной при таком значении угла $ \beta$, при котором знаменатель в формуле (3) максимален, то есть максимальна величина</p>
\\[
\cos ( \beta - \alpha ) + \mu\sin ( \beta - \alpha ).
\\]
<p>Сделаем некоторые преобразования. Представим коэффициент трения $ \mu$ как тангенс некоторого угла $ \gamma$:</p>
\\[
\tan\gamma = \mu ; \quad \gamma = \arctan \mu ;
\\]
\\[
\sin\gamma = \frac{ \mu}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }; \quad \cos\gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }.
\\]
<p>Тогда можно записать:</p>
\\[
\cos ( \beta - \alpha ) + \mu\sin ( \beta - \alpha ) = \sqrt{1 + \mu^{2} } \cos ( \beta - \alpha - \gamma ).
\\]
<p>Последнее выражение максимально и равно</p>
\\[
\sqrt{1 + \mu^{2}} \quad \text{при} \quad \beta - \alpha - \gamma = 0, \quad \text{то есть при} \quad \beta = \alpha + \gamma = \alpha + \arctan \mu . \tag{4}
\\]
<p>При таком значении угла $ \beta$ и минимальна сила $ F $. Причем, если ящик движется равномерно ($ a = 0 $), то</p>
\\[
F_{min} = \frac{mg( \sin\alpha + \mu\cos\alpha ) }{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }.
\\]
<p>а при движении с ускорением $ a $</p>
\\[
F_{min} = \frac{ma + mg ( \sin\alpha + \mu\cos\alpha ) }{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }.
\\]
<p>
Однако, это решение верно не для любого ускорения. Так как направление силы $ \vec{F} $ не зависит от $a$, а абсолютная величина силы $ \vec{F} $ увеличивается с увеличением ускорения, то при некотором значении ускорения $ a = a_0 $ сила $ \vec{F} $ станет такой, что ее составляющая $ F \sin (\beta - \alpha ) $, перпендикулярная к наклонной плоскости, будет равна по абсолютной величине составляющей силы тяжести $ mg \cos\alpha$. При этом обратится в нуль как сила $ \vec{N} $, так и сила $ \vec{F}_{тр} $. В дальнейшем (при $ a > a_0 $) для того чтобы ящик не оторвался от полозьев, направление силы $ \vec{F} $ должно меняться с увеличением ускорения так, чтобы составляющая силы $ \vec{F} $, перпендикулярная к наклонной плоскости, оставалась равной составляющей силы тяжести, то есть
\\[ F \sin (\beta - \alpha ) = mg \cos\alpha\\]
Для составляющих этих сил, параллельных наклонной плоскости, можно записать
\\[ F \cos (\beta - \alpha ) - mg \sin\alpha = ma \\]
Из двух последних равенств найдем
\\[ \tan (\beta - \alpha ) = \frac{g \cos\alpha}{g \sin\alpha + a} \\]
откуда
\\[ \beta = \alpha + \arctan \frac{g \cos\alpha}{g \sin\alpha + a} \\]
Величину $ a_0 $ можно найти из тех соображений, что при $ a = a_0 $ значение угла $ \beta$ из (4) и (5) совпадают:
\\[ \alpha + \arctan \frac{g \cos\alpha}{g \sin\alpha + a_0 } = \alpha + \arctan \mu\\]
откуда
\\[ a_0 = g \left( \frac{\cos\alpha}{\mu} - \sin\alpha\right) \\]
Итак, при $ a \leq a_0 $ (следовательно, и при равномерном движении тоже)
\\[ \beta = \alpha + \arctan \mu\\]
При $ a > a_0 $
\\[ \beta = \alpha + \arctan \frac{g \cos\alpha}{g \sin\alpha + a} \\]
Мы решили задачу. Однако, приведем еще одно решение. Это - красивое геометрическое решение.
При равномерном движении вдоль склонней сумма всех сил должна быть равна нулю. Заменим силы $ \vec{N} $ и $ \vec{F}_{тр} $ их равнодействующей $ \vec{Q} = \vec{N} + \vec{F}_{тр} $ (рис.) и будем складывать силы $ \vec{Q}, \vec{F} $ и $ m \vec{g} $. Они должны образовать замкнутый треугольник.
Заменим, что направление силы $ \vec{Q} $ составляет с перпендикуляром к наклонной плоскости угол $ \delta$ такой, что
\\[ \tan\delta = \frac{F_{тр}}{N} = \frac{\mu N}{N} = \mu\\]
</p>
<center>
<figure>
<img src="phys11917-1.png"
loading="lazy" width="250" />
</figure>
</center>
<p>
Таким образом, при изменении величины и направления силы $ \vec{F} $ направление силы $ \vec{Q} $ остается неизменным. Следовательно, абсолютная величина силы $ \vec{F} $ будет минимальна, если он перпендикулярен к вектору $ \vec{Q} $ (рис.). (так как величина и направление вектора $ m \vec{g} $ неизменны), то минимальная сила будет равна:
\\[ F_{\min} = mg \sin\alpha + mg \mu\cos\alpha = mg (\sin\alpha + \mu\cos\alpha ) \\]
Таким образом, величина минимальной силы, необходимой для подъема ящика с ускорением $ a \leq a_0 $ равна
\\[ F_{\min} = mg (\sin\alpha + \mu\cos\alpha ) \\]
Если ускорение $ a > a_0 $, то для минимальной силы $ \vec{F} $, направленной под углом $ \beta$ к горизонтали, имеем:
\\[ \beta = \alpha + \arctan \frac{g \cos\alpha}{g \sin\alpha + a} \\]</p>
</div>
<h3>
Ответ:
</h3>
<p>
$$\beta = \alpha + \arctan \mu$$
</p>
<p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 16;"><a href="https://earthz.ru/solves/Zadacha-po-fizike-11917">earthz.ru</a></p>
<h3>
Альтернативное решение:
</h3>
<div class="video-container">
<iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/Tw35KFitW-k" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
</div>
<footer class="row container">
<br>
<p>
<small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
Savchenko Solutions