<h3 id="back-link"><a href="/">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
     $2.1.26^*.$ По деревянным сходням, образующим угол $\alpha$ с горизонтом, втаскивают за привязанную к нему веревку ящик. Коэффициент трения ящика о сходни $\mu$. Под каким углом к горизонту следует тянуть веревку, чтобы с наименьшим усилием втащить ящик?
    </p>
    <center>
      <figure>
        <img src="statement.png"
          loading="lazy" width="250" />
        <figcaption>
            К задаче 2.1.26
        </figcaption>
      </figure>
    </center>

  <h3> Решение: </h3>

    <center>
      <figure>
        <img src="phys11917.png" 
          loading="lazy" width="250" />
        <figcaption>
          Схема задачи
        </figcaption>
      </figure>
    </center>

	<p>Рассмотрим силы, действующие на ящик (рис.). Это - сила тяжести $ m \vec{g} $, сила натяжения веревки $ \vec{F} $, сила реакции соударения $ \vec{N} $ и сила трения $ \vec{F}_{тр} $, величина которой $ \vec{F}_{тр} = \mu N $. Спроктируем все силы на направление вдоль схождения и перпендикулярно к ним и запишем соответственные уравнения движения.</p>

	<p>Так как ящик не перемещается в направлении, перпендикулярном схождению, то сумма проекций сил на это направление должна быть равна нулю, то есть</p>

	\\[
	N + F \sin ( \beta - \alpha) - mg \cos \alpha = 0, \tag{1}
	\\]

	<p>Вдоль схождения ящик движется с ускорением $ a $ (в частном случае при равномерном движении $ a = 0 $), поэтому сумма проекций сил должна быть равна $ ma $:</p>

	\\[
	F \cos( \beta - \alpha) - mg \sin \alpha - \mu N = ma. \tag{2}
	\\]

	<p>Из уравнений (1) и (2) получаем:</p>

	\\[
	F = \frac{ma + mg ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{ \cos ( \beta - \alpha) + \mu \sin ( \beta - \alpha) }. \tag{3}
	\\]

	<p>В полученное выражение для силы $ F $ угол $ \beta $ входит только знаменатель. Следовательно, величина силы $ F $ будет минимальной при таком значении угла $ \beta $, при котором знаменатель в формуле (3) максимален, то есть максимальна величина</p>

	\\[
	\cos ( \beta - \alpha) + \mu \sin ( \beta - \alpha).
	\\]

	<p>Сделаем некоторые преобразования. Представим коэффициент трения $ \mu $ как тангенс некоторого угла $ \gamma $:</p>

	\\[
	\tan \gamma = \mu; \quad \gamma = \arctan \mu;
	\\]

	\\[
	\sin \gamma = \frac{ \mu}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }; \quad \cos \gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }.
	\\]

	<p>Тогда можно записать:</p>

	\\[
	\cos ( \beta - \alpha) + \mu \sin ( \beta - \alpha)  = \sqrt{1 + \mu^{2} } \cos ( \beta - \alpha - \gamma).
	\\]

	<p>Последнее выражение максимально и равно</p>

	\\[
	\sqrt{1 + \mu^{2}} \quad \text{при} \quad \beta - \alpha - \gamma = 0, \quad \text{то есть при} \quad \beta = \alpha + \gamma = \alpha + \arctan \mu. \tag{4}
	\\]

	<p>При таком значении угла $ \beta $ и минимальна сила $ F $. Причем, если ящик движется равномерно ($ a = 0 $), то</p>

	\\[
	F_{min} = \frac{mg( \sin \alpha + \mu \cos \alpha) }{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }.
	\\]

	<p>а при движении с ускорением $ a $</p>

	\\[
	F_{min} = \frac{ma + mg ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) }{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }.
	\\]

	<p>

	Однако, это решение верно не для любого ускорения. Так как направление силы $ \vec{F} $ не зависит от $a$, а абсолютная величина силы $ \vec{F} $ увеличивается с увеличением ускорения, то при некотором значении ускорения $ a = a_0 $ сила $ \vec{F} $ станет такой, что ее составляющая $ F \sin (\beta - \alpha) $, перпендикулярная к наклонной плоскости, будет равна по абсолютной величине составляющей силы тяжести $ mg \cos \alpha $. При этом обратится в нуль как сила $ \vec{N} $, так и сила $ \vec{F}_{тр} $. В дальнейшем (при $ a > a_0 $) для того чтобы ящик не оторвался от полозьев, направление силы $ \vec{F} $ должно меняться с увеличением ускорения так, чтобы составляющая силы $ \vec{F} $, перпендикулярная к наклонной плоскости, оставалась равной составляющей силы тяжести, то есть
	\\[ F \sin (\beta - \alpha) = mg \cos \alpha \\]

	Для составляющих этих сил, параллельных наклонной плоскости, можно записать
	\\[ F \cos (\beta - \alpha) - mg \sin \alpha = ma \\]

	Из двух последних равенств найдем
	\\[ \tan (\beta - \alpha) = \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a} \\]

	откуда
	\\[ \beta = \alpha + \arctan \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a} \\]

	Величину $ a_0 $ можно найти из тех соображений, что при $ a = a_0 $ значение угла $ \beta $ из (4) и (5) совпадают:
	\\[ \alpha + \arctan \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a_0 } = \alpha + \arctan \mu \\]

	откуда
	\\[ a_0 = g \left( \frac{\cos \alpha}{\mu} - \sin \alpha \right) \\]

	Итак, при $ a \leq a_0 $ (следовательно, и при равномерном движении тоже)
	\\[ \beta = \alpha + \arctan \mu \\]

	При $ a > a_0 $
	\\[ \beta = \alpha + \arctan \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a} \\]

	Мы решили задачу. Однако, приведем еще одно решение. Это - красивое геометрическое решение.

	При равномерном движении вдоль склонней сумма всех сил должна быть равна нулю. Заменим силы $ \vec{N} $ и $ \vec{F}_{тр} $ их равнодействующей $ \vec{Q} = \vec{N} + \vec{F}_{тр} $ (рис.) и будем складывать силы $ \vec{Q}, \vec{F} $ и $ m \vec{g} $. Они должны образовать замкнутый треугольник.

	Заменим, что направление силы $ \vec{Q} $ составляет с перпендикуляром к наклонной плоскости угол $ \delta $ такой, что
	\\[ \tan \delta = \frac{F_{тр}}{N} = \frac{\mu N}{N} = \mu \\]
	</p>

    <center>
      <figure>
        <img src="phys11917-1.png" 
          loading="lazy" width="250" />
      </figure>
    </center>
	<p>
	Таким образом, при изменении величины и направления силы $ \vec{F} $ направление силы $ \vec{Q} $ остается неизменным. Следовательно, абсолютная величина силы $ \vec{F} $ будет минимальна, если он перпендикулярен к вектору $ \vec{Q} $ (рис.). (так как величина и направление вектора $ m \vec{g} $ неизменны), то минимальная сила будет равна:

	\\[ F_{\min} = mg \sin \alpha + mg \mu \cos \alpha = mg (\sin \alpha + \mu \cos \alpha) \\]

	Таким образом, величина минимальной силы, необходимой для подъема ящика с ускорением $ a \leq a_0 $ равна
	\\[ F_{\min} = mg (\sin \alpha + \mu \cos \alpha) \\]

	Если ускорение $ a > a_0 $, то для минимальной силы $ \vec{F} $, направленной под углом $ \beta $ к горизонтали, имеем:
	\\[ \beta = \alpha + \arctan \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a} \\]</p>
	</div>

    <h3>
        Ответ: 
    </h3>
    <p>
      $$β = α + \arctan \mu$$
     </p>
  <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 16;"><a href="https://earthz.ru/solves/Zadacha-po-fizike-11917">earthz.ru</a></p>

    <h3>
    	Альтернативное решение:
    </h3>
    <div class="video-container">
        <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/Tw35KFitW-k" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
    </div>
     
<footer class="row container">
    <br>

    <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small>
    </p>
</footer>