$2.1.64.$ С какой максимальной скоростью может ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая круг радиуса $R$, если коэффициент трения равен $\mu$? На какой угол от вертикали он должен при этом отклониться? Во сколько раз увеличится максимально допустимая скорость мотоциклиста при движении по наклонному треку с углом наклона $\alpha$ к горизонту по сравнению с максимально допустимой скоростью при движении по горизонтальному треку при том же радиусе поворота и том же коэффициенте трения?
+
$2.1.64.$ С какой максимальной скоростью может ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая круг радиуса $R$, если коэффициент трения равен $\mu$? На какой угол от вертикали он должен при этом отклониться? Во сколько раз увеличится максимально допустимая скорость мотоциклиста при движении по наклонному треку с углом наклона $\alpha$ к горизонту по сравнению с максимально допустимой скоростью при движении по горизонтальному треку при том же радиусе поворота и том же коэффициенте трения?
</p>
<h3> Решение: </h3>
<center>
<figure>
<img src="draw1.png"
loading="lazy" width="350" />
<figcaption>
Силы действующие на мотоцикл
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>
Изобразим силы, действующие на мотоцикл (см. рис. верхний), и запишем второй закон Ньютона
Учитывая, что при движении по окружности $ a = \frac{v^2}{R}$, сила трения равна $ F_{\text{тр}} = \mu N $,
получаем, что максимальная скорость движения мотоциклиста равна
$$\boxed{v = \sqrt{\mu g R}}$$
</p>
<br>
<center>
<figure>
<img src="draw2.png"
loading="lazy" width="350" />
<figcaption>
Силы действующие на мотоцикл при повороте
</figcaption>
</figure>
</center>
@@ -92,13 +92,13 @@
<p>
При повороте мотоциклист отклоняется к центру окружности на некоторый угол (см. рис. нижний). Тогда по второму закону Ньютона
$$\vec{N} + m\vec{g} = m\vec{a}$$
−
$$Ox: \quad N \sin\beta = ma;$$
−
$$Oy: \quad N \cos\beta = mg.$$
+
$$Ox: \quad N \sin\beta = ma;$$
+
$$Oy: \quad N \cos\beta = mg.$$
</p>
<p>
Откуда
−
$$\tan\beta = \frac{a}{g} = \frac{\mu g}{g}$$
+
$$\tan\beta = \frac{a}{g} = \frac{\mu g}{g}$$
$$\boxed{\beta = \arctan\mu}$$
</p>
<br>
<center>
<figure>
<img src="draw3.png"
loading="lazy" width="180" />
</figure>
</center>
<p>
Рассмотрим движение велосипедиста по горизонтальному треку (рис.).
</p>
<p>На велосипедиста действуют: сила тяжести $m \vec{g}$ и нормальная составляющая силы реакции опоры $\vec{N}$.
</p>
<p>Центростремительное ускорение велосипедиста может сообщить здесь только сила трения покоя, направленная по радиусу окружности к центру $О$ и возникающая в том случае, когда велосипедист наклоняется к центру окружности.
</p>
<p>Равнодействующая сил $\vec{N}$ и $\vec{F}_{тр}\Rightarrow\vec{F} = \vec{F}_{тр} + \vec{N}$ проходит через центр тяжести велосипедиста, и в противном случае существовал бы опрокидывающий момент сил.
</p>
<p>По второму закону Ньютона для проекции на радиальное направление X $F_{тр} = ma_{n} = m \frac{v^{2}}{R}$, где $v$ - скорость движения велосипедиста.
</p>
<p>Так как сила трения покоя $F_{тр}\leq\mu N = \mu mg$, то получаем неравенство
$$m \frac{v^{2}}{R}\leq\mu mg$$
$$v^{2}\leq\mu gR \Rightarrow v \leq\sqrt{\mu gR}$$
максимальное значение скорости на горизонтальном треке $v_{1} = \sqrt{\mu gR}$.
</p>
<br>
<center>
<figure>
<img src="draw4.png"
loading="lazy" width="180" />
</figure>
</center>
<p>
@@ -136,56 +136,56 @@
Рассмотрим движение велосипедиста по наклонному треку. Действующие на него силы изображены на рис. ($\vec{F}$ - равнодействующая сил реакции опоры $\vec{N}$ и силы трения покоя $\vec{F}_{тр}$). По второму закону Ньютона для проекций на оси X и Y:
</p>
<p>
−
по оси Y $N \cos\alpha - F_{тр}\sin\alpha - mg = 0$ (1)
+
по оси Y $N \cos\alpha - F_{тр}\sin\alpha - mg = 0$ (1)
</p>
<p>
−
по оси X $N \sin\alpha + F_{тр}\cos\alpha = ma_{n}$ (2), где $a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$
+
по оси X $N \sin\alpha + F_{тр}\cos\alpha = ma_{n}$ (2), где $a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$
</p>
<p>
($v$ - скорость движения по наклонному треку). Перепишем систему в виде:
−
$$\begin{cases} N \cos\alpha - F_{тр}\sin\alpha = mg, (1') \\ N \sin\alpha + F_{тр}\cos\alpha = m \frac{v^{2}}{R} (2'). \end{cases}$$
+
$$\begin{cases} N \cos\alpha - F_{тр}\sin\alpha = mg, (1') \\ N \sin\alpha + F_{тр}\cos\alpha = m \frac{v^{2}}{R} (2'). \end{cases}$$
</p>
<p>
−
Выразим из этой системы $N$ и $F_{тр}$. Для этого умножим уравнение $l'$ на $\cos\alpha$, а уравнение $(2')$ - на $\sin\alpha$:
−
$$\begin{cases} N \cos^{2}\alpha - F_{тр}\sin\alpha = mg \cos\alpha, \\ N \sin^{2}\alpha + F_{тр}\cos\alpha\sin\alpha = m \frac{v^{2}}{R}\sin\alpha. \end{cases}$$
+
Выразим из этой системы $N$ и $F_{тр}$. Для этого умножим уравнение $l'$ на $\cos\alpha$, а уравнение $(2')$ - на $\sin\alpha$:
+
$$\begin{cases} N \cos^{2}\alpha - F_{тр}\sin\alpha = mg \cos\alpha, \\ N \sin^{2}\alpha + F_{тр}\cos\alpha\sin\alpha = m \frac{v^{2}}{R}\sin\alpha. \end{cases}$$
</p>
<p>
После сложения получим
−
$$N(\cos^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha ) = mg \cos\alpha + m \frac{v^{2}}{R}$$
−
$$N = m \left ( g \cos\alpha + \frac{v^{2}}{R}\right )$$
+
$$N(\cos^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha ) = mg \cos\alpha + m \frac{v^{2}}{R}$$
+
$$N = m \left ( g \cos\alpha + \frac{v^{2}}{R}\right )$$
</p>
<p>
−
Умножим $(1')$ на $\sin\alpha$, а $(2')$ - на $\cos\alpha$, тогда
+
Умножим $(1')$ на $\sin\alpha$, а $(2')$ - на $\cos\alpha$, тогда
−
$$\begin{cases} N \cos^{2}\alpha - F_{тр}\sin\alpha = mg \cos\alpha, \\ N \sin^{2}\alpha + F_{тр}\cos\alpha\sin\alpha = m \frac{v^{2}}{R}\sin\alpha. \end{cases}$$
+
$$\begin{cases} N \cos^{2}\alpha - F_{тр}\sin\alpha = mg \cos\alpha, \\ N \sin^{2}\alpha + F_{тр}\cos\alpha\sin\alpha = m \frac{v^{2}}{R}\sin\alpha. \end{cases}$$
</p>
<p>
После вычислений найдем
−
$$F_{тр} = \left ( \frac{v^{2}}{R} - g \sin\alpha\right )$$
+
$$F_{тр} = \left ( \frac{v^{2}}{R} - g \sin\alpha\right )$$
Так как $F_{тр}$ - сила трения покоя, то
−
$$F_{тр}\leq\mu N \Rightarrow m \left ( \frac{v^{2}}{R}\cos\alpha - g \sin\alpha\right ) \leq\mu m \left ( g \cos\alpha + \frac{v^{2}}{R}\sin\alpha\right )$$
Разделим обе части на $\cos\alpha$ (из условия $\cos\alpha > 0$).
+
$$F_{тр}\leq\mu N \Rightarrow m \left ( \frac{v^{2}}{R}\cos\alpha - g \sin\alpha\right ) \leq\mu m \left ( g \cos\alpha + \frac{v^{2}}{R}\sin\alpha\right )$$
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
$2.1.64.$ С какой максимальной скоростью может ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая круг радиуса $R$, если коэффициент трения равен $\mu$? На какой угол от вертикали он должен при этом отклониться? Во сколько раз увеличится максимально допустимая скорость мотоциклиста при движении по наклонному треку с углом наклона $\alpha$ к горизонту по сравнению с максимально допустимой скоростью при движении по горизонтальному треку при том же радиусе поворота и том же коэффициенте трения?
$2.1.64.$ С какой максимальной скоростью может ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая круг радиуса $R$, если коэффициент трения равен $\mu$? На какой угол от вертикали он должен при этом отклониться? Во сколько раз увеличится максимально допустимая скорость мотоциклиста при движении по наклонному треку с углом наклона $\alpha$ к горизонту по сравнению с максимально допустимой скоростью при движении по горизонтальному треку при том же радиусе поворота и том же коэффициенте трения?
</p>
</p>
<h3> Решение: </h3>
<h3> Решение: </h3>
<center>
<center>
<figure>
<figure>
<img src="draw1.png"
<img src="draw1.png"
loading="lazy" width="350" />
loading="lazy" width="350" />
<figcaption>
<figcaption>
Силы действующие на мотоцикл
Силы действующие на мотоцикл
</figcaption>
</figcaption>
</figure>
</figure>
</center>
</center>
<p>
<p>
Изобразим силы, действующие на мотоцикл (см. рис. верхний), и запишем второй закон Ньютона
Изобразим силы, действующие на мотоцикл (см. рис. верхний), и запишем второй закон Ньютона
Учитывая, что при движении по окружности $ a = \frac{v^2}{R}$, сила трения равна $ F_{\text{тр}} = \mu N $,
Учитывая, что при движении по окружности $ a = \frac{v^2}{R}$, сила трения равна $ F_{\text{тр}} = \mu N $,
получаем, что максимальная скорость движения мотоциклиста равна
получаем, что максимальная скорость движения мотоциклиста равна
$$\boxed{v = \sqrt{\mu g R}}$$
$$\boxed{v = \sqrt{\mu g R}}$$
</p>
</p>
<br>
<br>
<center>
<center>
<figure>
<figure>
<img src="draw2.png"
<img src="draw2.png"
loading="lazy" width="350" />
loading="lazy" width="350" />
<figcaption>
<figcaption>
Силы действующие на мотоцикл при повороте
Силы действующие на мотоцикл при повороте
</figcaption>
</figcaption>
</figure>
</figure>
</center>
</center>
@@ -92,13 +92,13 @@
<p>
<p>
При повороте мотоциклист отклоняется к центру окружности на некоторый угол (см. рис. нижний). Тогда по второму закону Ньютона
При повороте мотоциклист отклоняется к центру окружности на некоторый угол (см. рис. нижний). Тогда по второму закону Ньютона
$$\vec{N} + m\vec{g} = m\vec{a}$$
$$\vec{N} + m\vec{g} = m\vec{a}$$
$$Ox: \quad N \sin\beta = ma;$$
$$Ox: \quad N \sin\beta = ma;$$
$$Oy: \quad N \cos\beta = mg.$$
$$Oy: \quad N \cos\beta = mg.$$
</p>
</p>
<p>
<p>
Откуда
Откуда
$$\tan\beta = \frac{a}{g} = \frac{\mu g}{g}$$
$$\tan\beta = \frac{a}{g} = \frac{\mu g}{g}$$
$$\boxed{\beta = \arctan\mu}$$
$$\boxed{\beta = \arctan\mu}$$
</p>
</p>
<br>
<br>
<center>
<center>
<figure>
<figure>
<img src="draw3.png"
<img src="draw3.png"
loading="lazy" width="180" />
loading="lazy" width="180" />
</figure>
</figure>
</center>
</center>
<p>
<p>
Рассмотрим движение велосипедиста по горизонтальному треку (рис.).
Рассмотрим движение велосипедиста по горизонтальному треку (рис.).
</p>
</p>
<p>На велосипедиста действуют: сила тяжести $m \vec{g}$ и нормальная составляющая силы реакции опоры $\vec{N}$.
<p>На велосипедиста действуют: сила тяжести $m \vec{g}$ и нормальная составляющая силы реакции опоры $\vec{N}$.
</p>
</p>
<p>Центростремительное ускорение велосипедиста может сообщить здесь только сила трения покоя, направленная по радиусу окружности к центру $О$ и возникающая в том случае, когда велосипедист наклоняется к центру окружности.
<p>Центростремительное ускорение велосипедиста может сообщить здесь только сила трения покоя, направленная по радиусу окружности к центру $О$ и возникающая в том случае, когда велосипедист наклоняется к центру окружности.
</p>
</p>
<p>Равнодействующая сил $\vec{N}$ и $\vec{F}_{тр}\Rightarrow\vec{F} = \vec{F}_{тр} + \vec{N}$ проходит через центр тяжести велосипедиста, и в противном случае существовал бы опрокидывающий момент сил.
<p>Равнодействующая сил $\vec{N}$ и $\vec{F}_{тр}\Rightarrow\vec{F} = \vec{F}_{тр} + \vec{N}$ проходит через центр тяжести велосипедиста, и в противном случае существовал бы опрокидывающий момент сил.
</p>
</p>
<p>По второму закону Ньютона для проекции на радиальное направление X $F_{тр} = ma_{n} = m \frac{v^{2}}{R}$, где $v$ - скорость движения велосипедиста.
<p>По второму закону Ньютона для проекции на радиальное направление X $F_{тр} = ma_{n} = m \frac{v^{2}}{R}$, где $v$ - скорость движения велосипедиста.
</p>
</p>
<p>Так как сила трения покоя $F_{тр}\leq\mu N = \mu mg$, то получаем неравенство
<p>Так как сила трения покоя $F_{тр}\leq\mu N = \mu mg$, то получаем неравенство
$$m \frac{v^{2}}{R}\leq\mu mg$$
$$m \frac{v^{2}}{R}\leq\mu mg$$
$$v^{2}\leq\mu gR \Rightarrow v \leq\sqrt{\mu gR}$$
$$v^{2}\leq\mu gR \Rightarrow v \leq\sqrt{\mu gR}$$
максимальное значение скорости на горизонтальном треке $v_{1} = \sqrt{\mu gR}$.
максимальное значение скорости на горизонтальном треке $v_{1} = \sqrt{\mu gR}$.
</p>
</p>
<br>
<br>
<center>
<center>
<figure>
<figure>
<img src="draw4.png"
<img src="draw4.png"
loading="lazy" width="180" />
loading="lazy" width="180" />
</figure>
</figure>
</center>
</center>
<p>
<p>
@@ -136,56 +136,56 @@
Рассмотрим движение велосипедиста по наклонному треку. Действующие на него силы изображены на рис. ($\vec{F}$ - равнодействующая сил реакции опоры $\vec{N}$ и силы трения покоя $\vec{F}_{тр}$). По второму закону Ньютона для проекций на оси X и Y:
Рассмотрим движение велосипедиста по наклонному треку. Действующие на него силы изображены на рис. ($\vec{F}$ - равнодействующая сил реакции опоры $\vec{N}$ и силы трения покоя $\vec{F}_{тр}$). По второму закону Ньютона для проекций на оси X и Y:
</p>
</p>
<p>
<p>
по оси Y $N \cos\alpha - F_{тр}\sin\alpha - mg = 0$ (1)
по оси Y $N \cos\alpha - F_{тр}\sin\alpha - mg = 0$ (1)
</p>
</p>
<p>
<p>
по оси X $N \sin\alpha + F_{тр}\cos\alpha = ma_{n}$ (2), где $a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$
по оси X $N \sin\alpha + F_{тр}\cos\alpha = ma_{n}$ (2), где $a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$
</p>
</p>
<p>
<p>
($v$ - скорость движения по наклонному треку). Перепишем систему в виде:
($v$ - скорость движения по наклонному треку). Перепишем систему в виде:
$$\begin{cases} N \cos\alpha - F_{тр}\sin\alpha = mg, (1') \\ N \sin\alpha + F_{тр}\cos\alpha = m \frac{v^{2}}{R} (2'). \end{cases}$$
$$\begin{cases} N \cos\alpha - F_{тр}\sin\alpha = mg, (1') \\ N \sin\alpha + F_{тр}\cos\alpha = m \frac{v^{2}}{R} (2'). \end{cases}$$
</p>
</p>
<p>
<p>
Выразим из этой системы $N$ и $F_{тр}$. Для этого умножим уравнение $l'$ на $\cos\alpha$, а уравнение $(2')$ - на $\sin\alpha$:
Выразим из этой системы $N$ и $F_{тр}$. Для этого умножим уравнение $l'$ на $\cos\alpha$, а уравнение $(2')$ - на $\sin\alpha$:
$$\begin{cases} N \cos^{2}\alpha - F_{тр}\sin\alpha = mg \cos\alpha, \\ N \sin^{2}\alpha + F_{тр}\cos\alpha\sin\alpha = m \frac{v^{2}}{R}\sin\alpha. \end{cases}$$
$$\begin{cases} N \cos^{2}\alpha - F_{тр}\sin\alpha = mg \cos\alpha, \\ N \sin^{2}\alpha + F_{тр}\cos\alpha\sin\alpha = m \frac{v^{2}}{R}\sin\alpha. \end{cases}$$
</p>
</p>
<p>
<p>
После сложения получим
После сложения получим
$$N(\cos^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha ) = mg \cos\alpha + m \frac{v^{2}}{R}$$
$$N(\cos^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha ) = mg \cos\alpha + m \frac{v^{2}}{R}$$
$$N = m \left ( g \cos\alpha + \frac{v^{2}}{R}\right )$$
$$N = m \left ( g \cos\alpha + \frac{v^{2}}{R}\right )$$
</p>
</p>
<p>
<p>
Умножим $(1')$ на $\sin\alpha$, а $(2')$ - на $\cos\alpha$, тогда
Умножим $(1')$ на $\sin\alpha$, а $(2')$ - на $\cos\alpha$, тогда
$$\begin{cases} N \cos^{2}\alpha - F_{тр}\sin\alpha = mg \cos\alpha, \\ N \sin^{2}\alpha + F_{тр}\cos\alpha\sin\alpha = m \frac{v^{2}}{R}\sin\alpha. \end{cases}$$
$$\begin{cases} N \cos^{2}\alpha - F_{тр}\sin\alpha = mg \cos\alpha, \\ N \sin^{2}\alpha + F_{тр}\cos\alpha\sin\alpha = m \frac{v^{2}}{R}\sin\alpha. \end{cases}$$
</p>
</p>
<p>
<p>
После вычислений найдем
После вычислений найдем
$$F_{тр} = \left ( \frac{v^{2}}{R} - g \sin\alpha\right )$$
$$F_{тр} = \left ( \frac{v^{2}}{R} - g \sin\alpha\right )$$
Так как $F_{тр}$ - сила трения покоя, то
Так как $F_{тр}$ - сила трения покоя, то
$$F_{тр}\leq\mu N \Rightarrow m \left ( \frac{v^{2}}{R}\cos\alpha - g \sin\alpha\right ) \leq\mu m \left ( g \cos\alpha + \frac{v^{2}}{R}\sin\alpha\right )$$
$$F_{тр}\leq\mu N \Rightarrow m \left ( \frac{v^{2}}{R}\cos\alpha - g \sin\alpha\right ) \leq\mu m \left ( g \cos\alpha + \frac{v^{2}}{R}\sin\alpha\right )$$
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
