| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $2.1.64.$ С какой максимальной скоростью может ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая круг радиуса $R$, если коэффициент трения равен $\mu$? На какой угол от вертикали он должен при этом отклониться? Во сколько раз увеличится максимально допустимая скорость мотоциклиста при движении по наклонному треку с углом наклона $\alpha$ к горизонту по сравнению с максимально допустимой скоростью при движении по горизонтальному треку при том же радиусе поворота и том же коэффициенте трения? | | $2.1.64.$ С какой максимальной скоростью может ехать по горизонтальной плоскости мотоциклист, описывая круг радиуса $R$, если коэффициент трения равен $\mu$? На какой угол от вертикали он должен при этом отклониться? Во сколько раз увеличится максимально допустимая скорость мотоциклиста при движении по наклонному треку с углом наклона $\alpha$ к горизонту по сравнению с максимально допустимой скоростью при движении по горизонтальному треку при том же радиусе поворота и том же коэффициенте трения? |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Изобразим силы, действующие на мотоцикл (см. рис. верхний), и запишем второй закон Ньютона | | Изобразим силы, действующие на мотоцикл (см. рис. верхний), и запишем второй закон Ньютона |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \vec{N} + m\vec{g} + \vec{F}_{\text{тр}} = m\vec{a}. | | \vec{N} + m\vec{g} + \vec{F}_{\text{тр}} = m\vec{a}. |
| $$ | | $$ |
| ЩИЗИКА | | ЩИЗИКА |
| В проекции на оси: | | В проекции на оси: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| Ox: \quad F_{\text{тр}} = ma; | | Ox: \quad F_{\text{тр}} = ma; |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| Oy: \quad N - mg = 0. | | Oy: \quad N - mg = 0. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Учитывая, что при движении по окружности $ a = \frac{v^2}{R} $, сила трения равна $ F_{\text{тр}} = \mu N $, получаем, что максимальная скорость движения мотоциклиста равна | | Учитывая, что при движении по окружности $ a = \frac{v^2}{R} $, сила трения равна $ F_{\text{тр}} = \mu N $, получаем, что максимальная скорость движения мотоциклиста равна |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{v = \sqrt{\mu g R}} | | \boxed{v = \sqrt{\mu g R}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| При повороте мотоциклист отклоняется к центру окружности на некоторый угол (см. рис. нижний). Тогда по второму закону Ньютона | | При повороте мотоциклист отклоняется к центру окружности на некоторый угол (см. рис. нижний). Тогда по второму закону Ньютона |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \vec{N} + m\vec{g} = m\vec{a} | | \vec{N} + m\vec{g} = m\vec{a} |
| | | |
| Рассмотрим движение велосипедиста по горизонтальному треку (рис.). | | Рассмотрим движение велосипедиста по горизонтальному треку (рис.). |
| | | |
| На велосипедиста действуют: сила тяжести $m \vec{g}$ и нормальная составляющая силы реакции опоры $\vec{N}$. | | На велосипедиста действуют: сила тяжести $m \vec{g}$ и нормальная составляющая силы реакции опоры $\vec{N}$. |
| | | |
| Центростремительное ускорение велосипедиста может сообщить здесь только сила трения покоя, направленная по радиусу окружности к центру $О$ и возникающая в том случае, когда велосипедист наклоняется к центру окружности. | | Центростремительное ускорение велосипедиста может сообщить здесь только сила трения покоя, направленная по радиусу окружности к центру $О$ и возникающая в том случае, когда велосипедист наклоняется к центру окружности. |
| | | |
| Равнодействующая сил $\vec{N}$ и $\vec{F}_{тр} \Rightarrow \vec{F} = \vec{F}_{тр} + \vec{N}$ проходит через центр тяжести велосипедиста, и в противном случае существовал бы опрокидывающий момент сил. | | Равнодействующая сил $\vec{N}$ и $\vec{F}_{тр} \Rightarrow \vec{F} = \vec{F}_{тр} + \vec{N}$ проходит через центр тяжести велосипедиста, и в противном случае существовал бы опрокидывающий момент сил. |
| | | |
| По второму закону Ньютона для проекции на радиальное направление X $F_{тр} = ma_{n} = m \frac{v^{2}}{R}$, где $v$ - скорость движения велосипедиста. | | По второму закону Ньютона для проекции на радиальное направление X $F_{тр} = ma_{n} = m \frac{v^{2}}{R}$, где $v$ - скорость движения велосипедиста. |
| | | |
| Так как сила трения покоя $F_{тр} \leq \mu N = \mu mg$, то получаем неравенство | | Так как сила трения покоя $F_{тр} \leq \mu N = \mu mg$, то получаем неравенство |
| | | |
| $$ | | $$ |
| m \frac{v^{2}}{R} \leq \mu mg | | m \frac{v^{2}}{R} \leq \mu mg |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v^{2} \leq \mu gR \Rightarrow v \leq \sqrt{\mu gR} | | v^{2} \leq \mu gR \Rightarrow v \leq \sqrt{\mu gR} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| максимальное значение скорости на горизонтальном треке $v_{1} = \sqrt{\mu gR}$. | | максимальное значение скорости на горизонтальном треке $v_{1} = \sqrt{\mu gR}$. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Рассмотрим движение велосипедиста по наклонному треку. Действующие на него силы изображены на рис. ($\vec{F}$ - равнодействующая сил реакции опоры $\vec{N}$ и силы трения покоя $\vec{F}_{тр}$). По второму закону Ньютона для проекций на оси X и Y: | | Рассмотрим движение велосипедиста по наклонному треку. Действующие на него силы изображены на рис. ($\vec{F}$ - равнодействующая сил реакции опоры $\vec{N}$ и силы трения покоя $\vec{F}_{тр}$). По второму закону Ньютона для проекций на оси X и Y: |
| | | |
| по оси Y $N \cos\alpha - F_{тр} \sin\alpha - mg = 0$ (1) | | по оси Y $N \cos\alpha - F_{тр} \sin\alpha - mg = 0$ (1) |
| | | |
| по оси X $N \sin\alpha + F_{тр} \cos\alpha = ma_{n}$ (2), где $a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$ | | по оси X $N \sin\alpha + F_{тр} \cos\alpha = ma_{n}$ (2), где $a_{n} = \frac{v^{2}}{R}$ |
| | | |
| ($v$ - скорость движения по наклонному треку). Перепишем систему в виде: | | ($v$ - скорость движения по наклонному треку). Перепишем систему в виде: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \begin{cases} N \cos\alpha - F_{тр} \sin\alpha = mg, (1') \\\ N \sin\alpha + F_{тр} \cos\alpha = m \frac{v^{2}}{R} (2'). \end{cases} | | \begin{cases} N \cos\alpha - F_{тр} \sin\alpha = mg, (1') \\\ N \sin\alpha + F_{тр} \cos\alpha = m \frac{v^{2}}{R} (2'). \end{cases} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Выразим из этой системы $N$ и $F_{тр}$. Для этого умножим уравнение $l'$ на $\cos\alpha$, а уравнение $(2')$ - на $\sin\alpha$: | | Выразим из этой системы $N$ и $F_{тр}$. Для этого умножим уравнение $l'$ на $\cos\alpha$, а уравнение $(2')$ - на $\sin\alpha$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \begin{cases} N \cos^{2} \alpha - F_{тр} \sin\alpha = mg \cos\alpha , \\\ N \sin^{2} \alpha + F_{тр} \cos\alpha\sin\alpha = m \frac{v^{2}}{R} \sin\alpha . \end{cases} | | \begin{cases} N \cos^{2} \alpha - F_{тр} \sin\alpha = mg \cos\alpha , \\\ N \sin^{2} \alpha + F_{тр} \cos\alpha\sin\alpha = m \frac{v^{2}}{R} \sin\alpha . \end{cases} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| После сложения получим | | После сложения получим |
| | | |
| $$ | | $$ |
| N(\cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha ) = mg \cos\alpha + m \frac{v^{2}}{R} | | N(\cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha ) = mg \cos\alpha + m \frac{v^{2}}{R} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| N = m \left ( g \cos\alpha + \frac{v^{2}}{R} \right ) | | N = m \left ( g \cos\alpha + \frac{v^{2}}{R} \right ) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Умножим $(1')$ на $\sin\alpha$, а $(2')$ - на $\cos\alpha$, тогда | | Умножим $(1')$ на $\sin\alpha$, а $(2')$ - на $\cos\alpha$, тогда |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \begin{cases} N \cos^{2} \alpha - F_{тр} \sin\alpha = mg \cos\alpha , \\\ N \sin^{2} \alpha + F_{тр} \cos\alpha\sin\alpha = m \frac{v^{2}}{R} \sin\alpha . \end{cases} | | \begin{cases} N \cos^{2} \alpha - F_{тр} \sin\alpha = mg \cos\alpha , \\\ N \sin^{2} \alpha + F_{тр} \cos\alpha\sin\alpha = m \frac{v^{2}}{R} \sin\alpha . \end{cases} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| После вычислений найдем | | После вычислений найдем |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_{тр} = \left ( \frac{v^{2}}{R} - g \sin\alpha\right ) | | F_{тр} = \left ( \frac{v^{2}}{R} - g \sin\alpha\right ) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Так как $F_{тр}$ - сила трения покоя, то | | Так как $F_{тр}$ - сила трения покоя, то |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_{тр} \leq \mu N \Rightarrow m \left ( \frac{v^{2}}{R} \cos\alpha - g \sin\alpha\right ) \leq \mu m \left ( g \cos\alpha + \frac{v^{2}}{R} \sin\alpha\right ) | | F_{тр} \leq \mu N \Rightarrow m \left ( \frac{v^{2}}{R} \cos\alpha - g \sin\alpha\right ) \leq \mu m \left ( g \cos\alpha + \frac{v^{2}}{R} \sin\alpha\right ) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{v^{2}}{R} ( \cos\alpha - \mu\sin\alpha ) \leq g ( \mu\cos\alpha + \sin\alpha ) | | \frac{v^{2}}{R} ( \cos\alpha - \mu\sin\alpha ) \leq g ( \mu\cos\alpha + \sin\alpha ) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Разделим обе части на $\cos\alpha$ (из условия $\cos\alpha > 0$). | | Разделим обе части на $\cos\alpha$ (из условия $\cos\alpha > 0$). |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{v^{2}}{R} (1 - \mu \tan\alpha ) \leq g( \mu + \tan\alpha ) | | \frac{v^{2}}{R} (1 - \mu \tan\alpha ) \leq g( \mu + \tan\alpha ) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Если $(1 - \mu \tan\alpha ) > 0$, то $v^{2} \leq \frac{gR( \mu + \tan\alpha )}{1 - \mu \tan\alpha}$, или $v \leq \sqrt{ \frac{gR( \mu + \tan\alpha )}{1 - \mu \tan\alpha}}$ | | Если $(1 - \mu \tan\alpha ) > 0$, то $v^{2} \leq \frac{gR( \mu + \tan\alpha )}{1 - \mu \tan\alpha}$, или $v \leq \sqrt{ \frac{gR( \mu + \tan\alpha )}{1 - \mu \tan\alpha}}$ |
| | | |
| Значит максимальная скорость при движении по наклонному треку | | Значит максимальная скорость при движении по наклонному треку |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v_{2} = \sqrt{ \frac{gR ( \mu + \tan\alpha )}{1 - \mu \tan\alpha}} | | v_{2} = \sqrt{ \frac{gR ( \mu + \tan\alpha )}{1 - \mu \tan\alpha}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Отношение | | Отношение |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\frac{v_{2}}{v_{1}} = \sqrt{ \frac{ \mu + \tan\alpha}{ \mu (1 - \tan\alpha )}}} | | \boxed{\frac{v_{2}}{v_{1}} = \sqrt{ \frac{ \mu + \tan\alpha}{ \mu (1 - \tan\alpha )}}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| #### Ответ: | | #### Ответ: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v=\sqrt{\mu gR} | | v=\sqrt{\mu gR} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \beta =\arctan \mu | | \beta =\arctan \mu |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{u}{v}=\sqrt{\frac{\mu +\operatorname{tg}\alpha}{\mu (1-\mu\operatorname{tg}\alpha )}} | | \frac{u}{v}=\sqrt{\frac{\mu +\operatorname{tg}\alpha}{\mu (1-\mu\operatorname{tg}\alpha )}} |
| $$ | | $$ |
