Решебник Савченко
<h3 id="back-link"><a href="/ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$2.1.50.$ На гладкой горизонтальной плоскости находится клин с углом $\alpha$ при основании. Тело массы $m$, положенное на клин, опускается с ускорением, направленным под углом $\beta > \alpha$ к горизонтали. Определите массу клина.
</p>
<center>
<figure>
<img src="statement.png"
loading="lazy" width="230" />
<figcaption>
К задаче 2.1.50
</figcaption>
</figure>
</center>
<h3> Решение: </h3>
<center>
<figure>
<img src="sol.jpg"
loading="lazy" width="400" />
<figcaption>
Силы действующие на систему
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>
Разобьём ускорение бруска $\vec{a}_2$ на нормальную $\vec{a}_n$ и тангенциальную $\vec{a}_\tau$ компоненты
</p>
<br>
<center>
<figure>
<img src="sol3.jpg"
loading="lazy" width="280" />
<figcaption>
Нормальное и тангенциальное ускорения
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>
Из рисунка:
$$a_n=a_2 \cdot \sin\beta$$
$$a_\tau =a_2 \cdot \cos\beta$$
$$a_n=a_\tau\cdot \tan\beta\quad(0)$$
Рассмотрим малое изменение координаты клина и бруска на нем за маленький промежуток $dt$:
Клин сдвинулся на $dx_1$
Между тем, брусок в системе отсчета связанной с клином, по оси $OX$ брусок сдвинулся на $dx$, а по $OY$ — $dy$
</p>
<br>
<center>
<figure>
<img src="sol2.jpg"
loading="lazy" width="280" />
<figcaption>
Малое перещение за время $dt$
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>
Относительно начальной точки, в СО Наблюдателя, брусок сдвинулся на
$$OX: \\;dx=dx_0+dx_1$$
$$OY: \\;dy=dy_0$$
Т.к. брусок не отрывается,
$$dy=dx \cdot \tan\alpha\quad(a)$$
Продеффиринцируем дважды обе части выражения $(a)$:
$$\frac{dy}{d^2t} = \frac{dx}{d^2t} \cdot \tan\alpha$$
$$a_n = (a_\tau +a_1) \cdot \tan\alpha\quad(1)!$$
Запишем второй закон Ньютона для бруска на оси:
$$OX: \\;ma_\tau =N\\,\sin\alpha\quad(2)$$
$$OY: \\;ma_n=mg-N\cos\alpha\quad(3)$$
По третьему закону Ньютона Сила давления $\vec{N}{}'$ оказаная бруском на клин равна по модулю и проивоположна по направлению силе нормальной реакции опоры $\vec{N}$:
$$\vec{N}{}'=-\vec{N}$$
Второй закон Ньютона для клина на оси $OX$:
$$Ma_1=N\\,\sin\alpha\quad(4)$$
Составим и решим систему уравнений $(0)$, $(1)$, $(2)$, $(3)$ и $(4)$ относительно $M$:
$$\left\{\begin{matrix}
a_n=a_\tau\cdot \tan\beta& \\
a_n = (a_\tau +a_1) \cdot \tan\beta& \\
ma_\tau =N\\,\sin\alpha& \\
ma_n=mg-N\cos\alpha& \\
Ma_1=N\\,\sin\alpha&
\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}
a_\tau\cdot \tan\beta = (a_\tau +a_1) \cdot \tan\alpha& \\
ma_\tau =N\\,\sin\alpha& \\
ma_n=mg-N\cos\alpha& \\
Ma_1=N\\,\sin\alpha&
\end{matrix}\right.$$
$$M=ma_\tau\cdot \frac{1}{a_1}$$
$$a_\tau (\tan\beta -\tan\alpha ) = a_1\\,\tan\alpha$$
$$\frac{a_\tau}{a_1} = \frac{\tan\alpha}{\tan\beta -\tan\alpha}$$
$$M=m \frac{a_\tau}{a_1}$$
$$\boxed{M=m \frac{\tan\alpha}{\tan\beta -\tan\alpha}}$$
</p>
<h3> Ответ: </h3>
<p>
$$M= m \frac{\tan\alpha}{\tan\beta -\tan\alpha}$$
</p>
<footer class="row container">
<br>
<p>
<small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
Savchenko Solutions