Решение задач из Савченко О.Я.

Разобьём ускорение бруска $\vec{a}_2$ на нормальную $\vec{a}_n$ и тангенциальную $\vec{a}_\tau$ компоненты

Из рисунка:

$a_n=a_2 \cdot sin\\,\beta$

$a_\tau=a_2 \cdot cos\\,\beta$

$a_n=a_\tau \cdot tg\\,\beta\\;(0)$

Рассмотрим малое изменение координаты клина и бруска на нем за маленький промежуток $dt$:

Клин сдвинулся на $dx_1$

Между тем, брусок в системе отсчета связанной с клином, по оси $OX$ брусок сдвинулся на $dx$, а по $OY$ — $dy$

Относительно начальной точки, в СО Наблюдателя, брусок сдвинулся на

$OX$: $dx=dx_0+dx_1$

$OY$: $dy=dy_0$

Т.к. брусок не отрывается,

$dy=dx \cdot tg\\,\alpha\\;(a)$

Продеффиринцируем дважды обе части выражения $(a)$:

$\frac{dy}{d^2t} = \frac{dx}{d^2t} \cdot tg\\,\alpha$

$a_n = (a_\tau+a_1) \cdot tg\\,\alpha\\;(1)!$

Запишем второй закон Ньютона для бруска на оси:

$OX$: $ma_\tau=N\\,sin\\,\alpha\\;(2)$

$OY$: $ma_n=mg-N\\,cos\\,\alpha\\;(3)$

По третьему закону Ньютона Сила давления $\vec{N}{}'$ оказаная бруском на клин равна по модулю и проивоположна по направлению силе нормальной реакции опоры $\vec{N}$:

$\vec{N}{}'=-\vec{N}$

Второй закон Ньютона для клина на оси $OX$:

$Ma_1=N\\,sin\\,\alpha\\;(4)$

Составим и решим систему уравнений $(0)$, $(1)$, $(2)$, $(3)$ и $(4)$ относительно $M$:

$\left\{\begin{matrix} a_n=a_\tau \cdot tg\\,\beta & \\ a_n = (a_\tau+a_1) \cdot tg\\,\beta & \\ ma_\tau=N\\,sin\\,\alpha & \\ ma_n=mg-N\\,cos\\,\alpha & \\ Ma_1=N\\,sin\\,\alpha & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a_\tau \cdot tg\\,\beta = (a_\tau+a_1) \cdot tg\\,\alpha & \\ ma_\tau=N\\,sin\\,\alpha & \\ ma_n=mg-N\\,cos\\,\alpha & \\ Ma_1=N\\,sin\\,\alpha & \end{matrix}\right.$

$M=ma_\tau \cdot \frac{1}{a_1}$

$a_\tau(tg\\,\beta-tg\\,\alpha) = a_1\\,tg\\,\alpha$

$\frac{a_\tau}{a_1} = \frac{tg\\,\alpha}{tg\\,\beta-tg\\,\alpha}$

$M=m \frac{a_\tau}{a_1}=m \frac{tg\\,\alpha}{tg\\,\beta-tg\\,\alpha}$