Решебник Савченко
<h3 id="back-link"><a href="/ru#1.4">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$1.4.18^*.$ Мальчик, который может плавать со скоростью, в два раза меньшейскорости течения реки, хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесет, если ширина реки $H = 200$ м?
</p>
<h3> Решение: </h3>
<p>Рассмотрим движения мальчика со скоростью $\vec{v}$, когда его сносит река с течением $\vec{u}$</p>
<br>
<center>
<figure>
<img src="draw.png"
loading="lazy" width="250" />
<figcaption>
Представление $\vec{v'}$ как суммы двух векторов
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>Распишем в проекциях на горизонтальную и вертикальные оси, учитывая, что $u = 2v$</p>
<p class="exp">$v_x = 2v - v \cos\alpha$</p>
<p class="exp">$v_y = v \sin\alpha$</p>
<p>Найдем время за которое мальчик переплывет реку</p>
<p class="exp">$$t = \frac{H}{v_y} = \frac{H}{v \sin\alpha}$$</p>
<p>За время $t$ его снесет вдоль берега на величину</p>
<p class="exp">$$L = v_xt = H\frac{2 - \cos\alpha}{\sin\alpha}\quad(1)$$</p>
<p>Для того чтобы найти минимум $L$ необходимо найти экстремум функции $f(\alpha ) = \frac{2 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$ на интервале $\alpha\in (0,\pi )$</p>
<br>
<center>
<figure>
<img src="graph.png"
loading="lazy" width="350" />
<figcaption>
График функции $f(\alpha ) = \frac{2 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>Найдем $\alpha$, при котором производная равна $0$ </p>
<p class="exp">$$\frac{df}{d \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - \cos\alpha (2-\cos\alpha )}{\sin^2 \alpha}=0$$</p>
<p class="exp">$1-2 \cos\alpha =0$</p>
<p class="exp">$\fbox{$\alpha = \pi /3$}$</p>
<p>Подставляем в $(1)$ и находим расстояние на которое его снесет </p>
<p class="exp">$\fbox{$L = H\sqrt{3}$}$</p>
<h3> Ответ: </h3>
<p class="exp">$\alpha = 60^{\circ}$<br>$l = 200 \sqrt{3} \approx 345$ м</p>
<h3> Альтернативное решение: </h3>
<div class="video-container">
<iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/B8YqZELln3M" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
</div>
<footer class="row container">
<br>
<p>
<small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
Savchenko Solutions