Updated 9.2.6-9.2.12

astrosander edited
View solution History
revision #10653 parent #10390 GitHub 15e4a6e ← older newer →
ru/9.2.12.md +79 −106
@@ -1,46 +1,40 @@
−<html>
− <head>
− <title>Решебник Савченко</title>
−
− <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
− <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я.">
− <meta http-equiv="content-language" content="ru">
− <meta charset="utf-8">
− <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
− <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"/>
− <meta property="og:image" content="img/logo.png">
− <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сбоника задач Савенко О.Я.">
− <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368" />
+<!DOCTYPE html>
+<html lang="ru">
− <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/css-latex/style.css">
− <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png" />
−
− <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
−
− <script type="text/javascript" async
− src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML">
− </script>
−
− <!-- MathJax configuration -->
− <script type="text/x-mathjax-config">
− MathJax.Hub.Config({
− extensions: ['tex2jax.js'],
− jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'],
− tex2jax: {
− inlineMath: [ ['$','$'], ['\\(','\\)'] ],
− processEscapes: true,
− processClass: 'tex2jax',
− ignoreClass: 'html'
− },
− showProcessingMessages: false,
− messageStyle: 'none'
− });
− </script>
− </head>
−
− <body style="">
− <div class="container row">
− <div class="col flash"> <header class = "margin-main" style="text-align:center;">
+<head>
+ <meta charset="utf-8">
+ <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
+ <meta http-equiv="content-language" content="ru">
+ <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
+ <meta name="description" content="Провод, лежащий в одной плоскости, состоит из двух длинных прямых параллельных участков, связанных полуокружностью. По проводу течет ток I. Определите индукцию магнитного поля в центре полуокружности.">
+ <meta name="author" content="Aliaksandr Melnichenka">
+ <meta name="date" content="2023-10" scheme="YYYY-MM">
+ <meta property="og:title" content="Провод, лежащий в одной плоскости, состоит из двух длинных прямых параллельных участков, связанных полуокружностью. По проводу течет ток I. Определите индукцию магнитного поля в центре полуокружности.">
+ <meta property="og:image" content="img/logo.png">
+ <meta property="og:description" content="Провод, лежащий в одной плоскости, состоит из двух длинных прямых параллельных участков, связанных полуокружностью. По проводу течет ток I. Определите индукцию магнитного поля в центре полуокружности.">
+ <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368">
+ <title>Провод, лежащий в одной плоскости, состоит из двух длинных прямых параллельных участков, связанных полуокружностью. По проводу течет ток I. Определите индукцию магнитного поля в центре полуокружности.</title>
+ <link rel="stylesheet" href="https://savchenkosolutions.com/css/css-latex/style.css">
+ <link rel="icon" href="https://savchenkosolutions.com/img/logo.png" type="image/png">
+ <script src="https://savchenkosolutions.com/js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
+ <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>
+ <script type="text/x-mathjax-config">
+ MathJax.Hub.Config({
+ extensions: ['tex2jax.js'],
+ jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'],
+ tex2jax: {
+ inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']],
+ processEscapes: true,
+ processClass: 'tex2jax',
+ ignoreClass: 'html'
+ },
+ showProcessingMessages: false,
+ messageStyle: 'none'
+ });
+ </script>
+</head>
+ <body style="">
+ <header style="text-align:center;">
<a href="../../" style="text-decoration: none;">
<div id="logo">
<span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span>
@@ -50,84 +44,63 @@
Solutions&nbsp;of&nbsp;Savchenko Problems&nbsp;in&nbsp;Physics <br>
<i><b>knowledge must be free</b></i>
</p>
− </header>
− </div>
−
− <div id="main" class="col col-lg-9">
− <div class="row">
− <div class="col caption">
− <h2>
− <a href="../../ru#9.2">←Назад</a>
− </h2>
− </div>
− </div>
+ </header>
+ <h3 id="back-link"><a href="../../ru#9.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>
− <div id="1" class="row odd">
+ <h3> Условие </h3>
+ <p>
+ $9.2.12.$ Провод, лежащий в одной плоскости, состоит из двух длинных прямых параллельных участков, связанных полуокружностью. По проводу течет ток $I$. Определите индукцию магнитного поля в центре полуокружности.
+ </p>
− <div class="col col-lg-12">
− <h3>
− Условие:
− </h3>
− <div class="task">
− <p>
− \(9.2.12.\)
− Провод, лежащий в одной плоскости, состоит из двух длинных прямых параллельных участков, связанных полуокружностью. По проводу течет ток $I$. Определите индукцию магнитного поля в центре полуокружности. <br>
− </p>
−
−<!-- <div class="StatementDiv">
− <img class="Statement" src="statement.png">
− </div> -->
− </div>
− <hr>
− <h3>
− Решение:
− </h3>
+ <h3>Решение</h3>
+ <p>
+ Магнитное поле в искомой точке будет перпендикулярно плоскости провода, а значит для нахождения индукции надо найти индукцию $\vec{B}_1$ полубесконечого провода и полуокружности $\vec{B}_2$
+$$B_1 = \int\limits_{0}^{\infty}\varepsilon_0 \mu_0 \left[\frac{\vec{(dx\lambda )}}{4\pi\varepsilon_0 (x^2 + R^2)} \times \vec{v} \right]$$
+$$B_1 = \int\limits_{0}^{\infty}\frac{Idx\mu_0}{4\pi (x^2+ R^2)}\cdot \sin\alpha\quad(1)$$
+Из геометрических соображений
+$$\sin\alpha= \frac{R}{\sqrt{x^2 + R^2}}\quad(2)$$
+Далее, подставляем $(2)$ в $(1)$
+$$B_1 = \int\limits_0^\infty \frac{\mu_0 I dxR}{4\pi{(x^2 + R^2)}^{3/2}} = \frac{\mu_0 IR}{4\pi}\int\limits_0^\infty \frac{dx}{(x^2+R^2)^{3/2}}$$
+Вводим относительную величину $u=\frac{x}{R}$:
+$$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}\int\limits_0^\infty \frac{du}{(u^2+1)^{3/2}}\quad(3)$$
+к этому интегралу вернёмся чуть позже, а пока обозначим его значение как $(3)$
+Теперь посчитаем значение $B_2$
+$$B_2 = \int\limits_0^\pi\frac{\mu_0 IR}{4\pi R^2}~d\alpha = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}\int\limits_0^\pi d\alpha$$
+$$\boxed{B_2= \frac{\mu_0 I}{4R}}\quad(4)$$
+Тогда, учитывая, что наличие двух проводов, суммарная магнитная индукция
+$$\boxed{B = 2B_1 + B_2}\quad(5)$$
+Возвращаемся к нашему $(3)$ интегралу 😋
− <div class="solutions">
− <p class="TxtSolutions">
− Магнитное полк в искомой точке будет перпендикулярно плоскости провода, а значит для нахождения индукции надо найти индукцию полубесконечого $B_1$ провода и полуокружности $B_2$
−$B_1 = \int\limits_{0}^{\infty}\varepsilon_0 \mu_0 [\frac{\vec{(dx\lambda )}}{4\pi\varepsilon_0 (x^2 + R^2)} \times \vec{v} ]$$= \int\limits_{0}^{\infty}\frac{Idx\mu_0}{4\pi (x^2+ R^2)}\cdot \sin\alpha$$= \{\sin\alpha$$= \frac{R}{\sqrt{x^2 + R^2}}\} \Rightarrow$ <br><br> $\Rightarrow B_1 = \int\limits_0^\infty \frac{\mu_0 I dxR}{4\pi{(x^2 + R^2)}^{3/2}} $$= \frac{\mu_0 IR}{4\pi}\int\limits_0^\infty \frac{dx}{(x^2+R^2)^{3/2}} $$= \frac{\mu_0 I}{4\pi R}\int\limits_0^\infty \frac{du}{(u^2+1)^{3/2}}$ к этому интегралу вернёмся чуть позже, а пока обозначим его значение как $(1)$
−Теперь посчитаем значение $B_2$ <br><br>
−$B_2 = \int\limits_0^\pi\frac{\mu_0 IRd\alpha}{4\pi R^2} $$= \frac{\mu_0 I}{4\pi R}\int\limits_0^\pi d\alpha$$= \frac{\mu_0 I}{4R}$ <br><br>
−Тогда $B = 2B_1 + B_2$ <br><br>
−$\int\limits_0^\infty \frac{du}{(u^2+1)^{3/2}} = \{u = \tan(a), du = \frac{da}{\cos^2 (a)}\} $$= \int\limits_0^\frac{\pi}{2} \frac{da}{\cos^2 (a) \cdot (\tan^2(a)+1)^{3/2}} $$= \int\limits_0^\frac{\pi}{2} \cos(a)da = 1$ <br><br>
− Так как значение $(1)$ равно 1, то $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}$ , тогда $B = \frac{\mu_0 I}{4R}(1+\frac{2}{\pi}) $$=\frac{\mu_0 I}{4\pi R}(\pi + 2) $<br><br>
− </p>
− </div>
+$$A=\int\limits_0^\infty \frac{du}{(u^2+1)^{3/2}}$$
+Делаем тригонометрическую замену
+$$u = \tan \alpha;\quad du = \frac{d\alpha}{\cos^2 \alpha}$$
+$$\int\limits_0^\infty \frac{du}{(u^2+1)^{3/2}} = \int\limits_0^\frac{\pi}{2} \frac{d\alpha}{\cos^2 \alpha \cdot (\tan^2\alpha +1)^{3/2}} $$
+$$\boxed{A = \int\limits_0^\frac{\pi}{2} \cos\alpha ~d\alpha = 1}$$
+Так как значение $(3)$ равно $1$, то
+$$\boxed{B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}}\quad(6)$$
+Подставляем выражения для компонент $B_1$ и $B_2$ из $(6)$ и $(5)$, соответственно, в выражение для суммарной магнитной индукции $(5)$
+$$B = \frac{\mu_0 I}{4R}\left(1+\frac{2}{\pi}\right) \Rightarrow \boxed{B = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}(\pi + 2)} $$
+ </p>
− <h3>
− Ответ: $\fbox{$\frac{\mu_0 I}{4\pi R}(\pi + 2) $}$
−
− </h3>
− </div>
+ <h4>Ответ</h4>
+ <p>
+ $$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}(\pi + 2) $$
+ </p>
+ <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
+ Andrei Yersh<br>
+ </p>
− </div>
−
−
−
−
− </div> <footer class="row container">
+ <footer class="row container">
<br>
<p>
<small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
+ </body>
− <script type="text/javascript" src="../../js/bootstrap-affix.js"></script>
− <script type="text/javascript">
− $(function(){
− setTimeout(function () {
− $('.back-to-top').affix();
− }, 100);
−
− });
− </script>
−
−
− </body>
</html>