Solutions of Savchenko Problems in Physics knowledge must be free
<h3 id="back-link"><a href="/ru#1.5">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$ 1.5.16.$ Стержень упирается своими концами в стороны прямого угла. Верхний конец стержня поднимают со скоростью $v$. Найдите, как зависит от времени скорость его нижнего конца. За начало отсчета времени принять момент, когда верхний конец находится в вершине угла. Длина стержня $L$.
</p>
<center>
<figure>
<img src="statement.png"
loading="lazy" width="180" />
<figcaption>
К задаче 1.5.16
</figcaption>
</figure>
</center>
<h3> Решение: </h3>
<center>
<figure>
<img src="draw.png"
loading="lazy" width="240" />
<figcaption>
Распределение скоростей концей стержня
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>NO: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением <a href="/1.5.14">1.5.14</a> и <a href="/1.5.15">1.5.15</a></p>
<p>В момент времени $t$ высота, на которую поднялся верхний конец</p>
<p> $$y = v t\quad(1)$$ </p>
<p>Рассмотрим изменение координаты $x = \sqrt{L^2-y^2}$ за малый промежуток времени $dt$</p>
<p> $$dx = \frac{ydy}{\sqrt{L^2 - y^2}}$$ </p>
<p>Учитывая, что $v = \frac{dy}{dt}$ и $v_A = \frac{dx}{dt}$</p>
<p> $$v_A = \frac{vy}{\sqrt{L^2 - y^2}}$$ </p>
<p>Подставляем $(1)$</p>
<p> $$\fbox{$v_A = \frac{v^2t}{\sqrt{L^2 - v^2t^2}}$}$$ </p>
<h3> Ответ: $v_A = \frac{v^2t}{\sqrt{L^2 - v^2t^2}}$</h3>
<h3> Альтернативное решение: </h3>
<center>
<figure>
<img src="draw1.png"
loading="lazy" width="240" />
<figcaption>
Распределение скоростей концей стержня
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>Координата верхнего конца может быть найдена как</p>
<p>$$y=\upsilon t$$</p>
<p>Проекции скоростей обоих концов на направление стержня равны:</p>
<p>$$\upsilon\cos\alpha =u\cos(90^{\circ}-\alpha )$$</p>
<p>$$\upsilon\cos\alpha =u\sin\alpha$$</p>
<p>$$u=\upsilon\operatorname{ctg}\alpha =\upsilon\frac{y}{x}$$</p>
<p>По теореме Пифагора</p>
<p>$$x^2+y^2=L^2$$</p>
<p>$$x=\sqrt{L^2-y^2}=\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}$$</p>
<p>Так как скорость $u$ направлена против оси $x$, то</p>
<p>$$x’=-u$$</p>
<p>$$u=-\frac{\frac{1}{2}\cdot 2t\cdot (-\upsilon^2)}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}$$</p>
<p>$$u=\frac{t\cdot \upsilon^2}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}$$</p>
<p> </p>
<p>Если соединить центр стержня с вершиной прямого угла, то этот отрезок будет медианой прямоугольного треугольника и равен будет половине длины гипотенузы. Получается, что центр стержня движется по окружности с центром в точке О.</p>
<p> </p>
Savchenko Solutions