Решебник Савченко
<h3 id="back-link"><a href="/ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$2.1.48.$ Между двумя одинаковыми гладкими брусками массы $m_1$ каждый вставлен клин массы $m_2$ с углом $\alpha$. Определите ускорение тел.
</p>
<center>
<figure>
<img src="statement.png"
loading="lazy" width="230" />
<figcaption>
К задаче 2.1.48
</figcaption>
</figure>
</center>
<h3> Решение: </h3>
<center>
<figure>
<img src="sol.png"
loading="lazy" width="400" />
<figcaption>
Силы действующие на систему
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>
Рассмотрим малое смещение за время $dt$ с точки зрения кинематики:
</p>
<br>
<center>
<figure>
<img src="sol1.png"
loading="lazy" width="280" />
<figcaption>
Малое перещение за время $dt$
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>
Из геометрических соображений:
$$dy = dx \cdot c\tan\beta$$
Продеффиринцируем дважды обе части выражения:
$$\frac{dy}{d^2t} = \frac{dx}{d^2t} \cdot c\tan\beta$$
$$a_1 = a_2 \cdot \tan\beta\quad(1)$$
Т.к. Автор не сказал ничего про трение, пример $F_{тр}=0$
Далее, запишем 2 закон Ньютона для бруска $m_1$ на ось $OY$:
$$m_1a_1=N_1\cos\beta$$
$$N_1=\frac{m_1a_1}{\cos\beta}\quad(a)$$
Аналогично для $m_2$:
$$m_2a_2=m_2g-2N_1\\,\sin\beta\quad(b)$$
Подставляем $(a)$ в $(b)$:
$$m_2a_2=m_2g-2m_1a_1\cdot \tan\beta$$
Подставляем $(1)$ в $(c)$:
$$m_2a_2=m_2g-2m_1a_2\cdot \tan^2\beta$$
Выражаем $a_2$:
$$\boxed{a_2=\frac{m_2g}{m_2+2m_1\\,\tan^2\beta}}\quad(d)$$
Учитывая $(1)$, домнажаем $(d)$ на $\tan\beta$:
$$\boxed{a_1=\frac{m_2g\\,\tan\beta}{m_2+2m_1\\,\tan^2\beta}}$$
</p>
<h3> Ответ: </h3>
<p>
$$a_1=\frac{m_2g\\,\tan\beta}{m_2+2m_1\\,\tan^2\beta}$$
$$a_2=\frac{m_2g}{m_2+2m_1\\,\tan^2\beta}$$
</p>
<h3> Примечание: </h3>
<p>
Попробуйте объяснить парадокс:
</p>
<p>
Опишем движение центра масс системы на ось $OY$:
<div class="scroll-wrapper">
$$(2m_1+m_2)a_y=2m_1\vec{g}+m_2\vec{g}+2\vec{N}+2\vec{N_1}-2\vec{N_1}+\vec{F_{тр}}-\vec{F_{тр}}$$
</div>
Т.к. $\vec{N_1}$ и $\vec{F_{тр}}$ — внутренние силы и компенсируют друг друга, a $\vec{N}$ компенсируют $m_1\vec{g}$
$$(2m_1+m_2)a_y=m_2g$$
$$a_y=g\frac{m_2}{2m_1+m_2}$$
Т.к. грузы массой $m_1$ лежат на поверхности $(y=const)$
$$a_2=a_y=g\frac{m_2}{2m_1+m_2}\quad(2)$$
Подставляем $(2)$ в $(1)$:
$$a_1 = a_2 \cdot \tan\beta$$
$$a_2=g\frac{m_2 \\,\tan\beta}{2m_1+m_2}$$
Что не является ответом!
</p>
<p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
Aliaksandr Melnichenka<br>
</p>
<footer class="row container">
<br>
<p>
<small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
Savchenko Solutions