Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
     $2.1.48.$ Между двумя одинаковыми гладкими брусками массы $m_1$ каждый вставлен клин массы $m_2$ с углом $α$. Определите ускорение тел.
   </p>
    <center>
      <figure>
        <img src="statement.png"
          loading="lazy" width="230" />
        <figcaption>
           К задаче 2.1.48
        </figcaption>
      </figure>
    </center>

  <h3> Решение: </h3>
    <center>
      <figure>
        <img src="sol.png"
          loading="lazy" width="400" />
        <figcaption>
           Силы действующие на систему 
        </figcaption>
      </figure>
    </center>
    <p>
        Рассмотрим малое смещение за время $dt$ с точки зрения кинематики:
    </p>
    <br>
    <center>
      <figure>
        <img src="sol1.png"
          loading="lazy" width="280" />
        <figcaption>
           Малое перещение за время $dt$
        </figcaption>
      </figure>
    </center>
    <p>
       Из геометрических соображений:
        $$dy = dx \cdot ctg\\,\beta$$
        Продеффиринцируем дважды обе части выражения:
        $$\frac{dy}{d^2t} = \frac{dx}{d^2t} \cdot ctg\\,\beta$$
        $$a_1 = a_2 \cdot tg\\,\beta\\;(1)$$
        Т.к. Автор не сказал ничего про трение, пример $F_{тр}=0$
        Далее, запишем 2 закон Ньютона для бруска $m_1$ на ось $OY$:
        $$m_1a_1=N_1\\,cos\\,\beta$$
        $$N_1=\frac{m_1a_1}{cos\\,\beta}\\;(a)$$
        Аналогично для $m_2$:
        $$m_2a_2=m_2g-2N_1\\,sin\\,\beta\\;(b)$$
        Подставляем $(a)$ в $(b)$:
        $$m_2a_2=m_2g-2m_1a_1\cdot tg\\,\beta$$
        Подставляем $(1)$ в $(c)$:
        $$m_2a_2=m_2g-2m_1a_2\cdot tg^2\\,\beta$$
        Выражаем $a_2$:
        $$\boxed{a_2=\frac{m_2g}{m_2+2m_1\\,tg^2\\,\beta}}\\;(d)$$
        Учитывая $(1)$, домнажаем $(d)$ на $tg\\,\beta$:
        $$\boxed{a_1=\frac{m_2g\\,tg\\,\beta}{m_2+2m_1\\,tg^2\\,\beta}}$$
    </p>
     <h3> Ответ: </h3>
     <p>
        $$a_1=\frac{m_2g\\,tg\\,\beta}{m_2+2m_1\\,tg^2\\,\beta}$$
        $$a_2=\frac{m_2g}{m_2+2m_1\\,tg^2\\,\beta}$$
     </p>

  <h3> Примечание: </h3>
  <p>
     Попробуйте объяснить парадокс:
  </p>
  <p>
     Опишем движение центра масс системы на ось $OY$:
     <div class="scroll-wrapper">
     $$(2m_1+m_2)a_y=2m_1\vec{g}+m_2\vec{g}+2\vec{N}+2\vec{N_1}-2\vec{N_1}+\vec{F_{тр}}-\vec{F_{тр}}$$
     </div>
     Т.к. $\vec{N_1}$ и $\vec{F_{тр}}$ — внутренние силы и компенсируют друг друга, a $\vec{N}$ компенсируют $m_1\vec{g}$
     $$(2m_1+m_2)a_y=m_2g$$
     $$a_y=g\frac{m_2}{2m_1+m_2}$$
     Т.к. грузы массой $m_1$ лежат на поверхности $(y=const)$
     $$a_2=a_y=g\frac{m_2}{2m_1+m_2}\\;(2)$$
     Подставляем $(2)$ в $(1)$:
     $$a_1 = a_2 \cdot tg\\,\beta$$
     $$a_2=g\frac{m_2 \\,tg\\,\beta}{2m_1+m_2}$$
     Что не является ответом!
  </p>



<footer class="row container">
    <br>

    <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>