$1.5.14^*.$ Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной $a$. Они начинают двигаться одновременно с постоянной по модулю скоростью $v$. Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой стрелке. Где встретятся черепахи и через какое время?
### Решение:
Рассмотрим изменение координат черепах за маленький промежуток времени $dt$
За время $dt$ расстояние между соседними черепахами изменилось с $a$ на $a'$
@@ -12,33 +12,33 @@Решение:
Выразим $a'$ по т.Пифагора
−
$a' = \sqrt{(a-dx)^2 - d^2x}$
+
$$a' = \sqrt{(a-dx)^2 - d^2x}$$
С учетом малости величины $dx$
−
$a' = \sqrt{a^2 - 2a\, dx}$
+
$$a' = \sqrt{a^2 - 2a\, dx}$$
$$a' = a\sqrt{1 - \frac{2dx}{a}}$$
Воспользуемся формулой для малых величин $(1+x)^\alpha\approx 1+\alpha x$, где $x\rightarrow 0$:
−
$a' = a - dx$
+
$$a' = a - dx$$
Таким образом, приращение координаты $a$ равно
−
$da = a' - a = dx$
+
$$da = a' - a = dx$$
Отсюда, скорость изменения расстояния между черепахами равна
$$u = \frac{da}{dt} = -\frac{dx}{dt}=-v$$
Отсюда следуеь, что через $a=0$, через промежуток времени
−
$t = a/v$
+
$$t = a/v$$
Из симметрии задачи, следует, что все черепахи пройдут одинаковый путь и окажутся в центе квадрата.
−
NO: Интересно было бы узнать, что было бы если был бы не квадрат? Если было бы не $4$ черепахи, а $n$ штук? Более развернутую версию задачи можно найти в ["Очень длинных физических задачах"](https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart1.pdf) А.И.Слободянюка(Задача 1)
+
__NO: Интересно было бы узнать, что было бы если был бы не квадрат? Если было бы не $4$ черепахи, а $n$ штук? Более развернутую версию задачи можно найти в ["Очень длинных физических задачах"](https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart1.pdf) А.И.Слободянюка(Задача 1)__
### Ответ:
В центре квадрата через время $t = a/v$.
### Альтернативное решение:
unchanged lines 6
### Условие:
### Условие:
$1.5.14^*.$ Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной $a$. Они начинают двигаться одновременно с постоянной по модулю скоростью $v$. Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой стрелке. Где встретятся черепахи и через какое время?
$1.5.14^*.$ Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной $a$. Они начинают двигаться одновременно с постоянной по модулю скоростью $v$. Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой стрелке. Где встретятся черепахи и через какое время?
### Решение:
### Решение:
Рассмотрим изменение координат черепах за маленький промежуток времени $dt$
Рассмотрим изменение координат черепах за маленький промежуток времени $dt$
За время $dt$ расстояние между соседними черепахами изменилось с $a$ на $a'$
За время $dt$ расстояние между соседними черепахами изменилось с $a$ на $a'$
@@ -12,33 +12,33 @@Решение:
Выразим $a'$ по т.Пифагора
Выразим $a'$ по т.Пифагора
$a' = \sqrt{(a-dx)^2 - d^2x}$
$$a' = \sqrt{(a-dx)^2 - d^2x}$$
С учетом малости величины $dx$
С учетом малости величины $dx$
$a' = \sqrt{a^2 - 2a\, dx}$
$$a' = \sqrt{a^2 - 2a\, dx}$$
$$a' = a\sqrt{1 - \frac{2dx}{a}}$$
$$a' = a\sqrt{1 - \frac{2dx}{a}}$$
Воспользуемся формулой для малых величин $(1+x)^\alpha\approx 1+\alpha x$, где $x\rightarrow 0$:
Воспользуемся формулой для малых величин $(1+x)^\alpha\approx 1+\alpha x$, где $x\rightarrow 0$:
$a' = a - dx$
$$a' = a - dx$$
Таким образом, приращение координаты $a$ равно
Таким образом, приращение координаты $a$ равно
$da = a' - a = dx$
$$da = a' - a = dx$$
Отсюда, скорость изменения расстояния между черепахами равна
Отсюда, скорость изменения расстояния между черепахами равна
$$u = \frac{da}{dt} = -\frac{dx}{dt}=-v$$
$$u = \frac{da}{dt} = -\frac{dx}{dt}=-v$$
Отсюда следуеь, что через $a=0$, через промежуток времени
Отсюда следуеь, что через $a=0$, через промежуток времени
$t = a/v$
$$t = a/v$$
Из симметрии задачи, следует, что все черепахи пройдут одинаковый путь и окажутся в центе квадрата.
Из симметрии задачи, следует, что все черепахи пройдут одинаковый путь и окажутся в центе квадрата.
NO: Интересно было бы узнать, что было бы если был бы не квадрат? Если было бы не $4$ черепахи, а $n$ штук? Более развернутую версию задачи можно найти в ["Очень длинных физических задачах"](https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart1.pdf) А.И.Слободянюка(Задача 1)
__NO: Интересно было бы узнать, что было бы если был бы не квадрат? Если было бы не $4$ черепахи, а $n$ штук? Более развернутую версию задачи можно найти в ["Очень длинных физических задачах"](https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart1.pdf) А.И.Слободянюка(Задача 1)__
