Edit to “Решение”
ru/1.5.14.md
+2 −2
| ### Условие: | |||
| $1.5.14^*.$ Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной $a$. Они начинают двигаться одновременно с постоянной по модулю скоростью $v$. Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой стрелке. Где встретятся черепахи и через какое время? | |||
| ### Решение: | |||
|  | |||
| Рассмотрим изменение координат черепах за маленький промежуток времени $dt$ | |||
| За время $dt$ расстояние между соседними черепахами изменилось с $a$ на $a'$ | |||
| Выразим $a'$ по т.Пифагора | |||
| $$ | |||
| a' = \\sqrt{(a-dx)^2 - d^2x} | |||
| $$ | |||
| С учетом малости величины $dx$ | |||
| $$ | |||
| a' = \\sqrt{a^2 - 2a\\, dx} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| a' = a\\sqrt{1 - \\frac{2dx}{a}} | |||
| $$ | |||
| Воспользуемся формулой для малых величин $(1+x)^\\alpha\\approx 1+\\alpha x$, где $x\\rightarrow 0$: | |||
| $$ | |||
| a' = a - dx | |||
| $$ | |||
| @@ -35,16 +35,16 @@Решение: | |||
| Таким образом, приращение координаты $a$ равно | |||
| $$ | |||
| − | da = a' - a = dx | ||
| + | da = a' - a = -dx | ||
| $$ | |||
| Отсюда, скорость изменения расстояния между черепахами равна | |||
| $$ | |||
| u = \\frac{da}{dt} = -\\frac{dx}{dt}=-v | |||
| $$ | |||
| − | Отсюда следуе | ||
| + | Отсюда следует, что через $a=0$, через промежуток времени | ||
| $$ | |||
| t = a/v | |||
| $$ | |||
| Из симметрии задачи, следует, что все черепахи пройдут одинаковый путь и окажутся в центе квадрата. | |||
| __NO__: Интересно было бы узнать, что было бы если был бы не квадрат? Если было бы не $4$ черепахи, а $n$ штук? Более развернутую версию задачи можно найти в ["Очень длинных физических задачах"](https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart1.pdf) А.И.Слободянюка(Задача 1) | |||
| #### Ответ: | |||
| В центре квадрата через время $t = a/v$. | |||
| ### Альтернативное решение: | |||
|  | |||
| unchanged lines 15 | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $1.5.14^*.$ Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной $a$. Они начинают двигаться одновременно с постоянной по модулю скоростью $v$. Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой стрелке. Где встретятся черепахи и через какое время? | $1.5.14^*.$ Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной $a$. Они начинают двигаться одновременно с постоянной по модулю скоростью $v$. Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой стрелке. Где встретятся черепахи и через какое время? | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
|  |  | ||
| Рассмотрим изменение координат черепах за маленький промежуток времени $dt$ | Рассмотрим изменение координат черепах за маленький промежуток времени $dt$ | ||
| За время $dt$ расстояние между соседними черепахами изменилось с $a$ на $a'$ | За время $dt$ расстояние между соседними черепахами изменилось с $a$ на $a'$ | ||
| Выразим $a'$ по т.Пифагора | Выразим $a'$ по т.Пифагора | ||
| $$ | $$ | ||
| a' = \\sqrt{(a-dx)^2 - d^2x} | a' = \\sqrt{(a-dx)^2 - d^2x} | ||
| $$ | $$ | ||
| С учетом малости величины $dx$ | С учетом малости величины $dx$ | ||
| $$ | $$ | ||
| a' = \\sqrt{a^2 - 2a\\, dx} | a' = \\sqrt{a^2 - 2a\\, dx} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| a' = a\\sqrt{1 - \\frac{2dx}{a}} | a' = a\\sqrt{1 - \\frac{2dx}{a}} | ||
| $$ | $$ | ||
| Воспользуемся формулой для малых величин $(1+x)^\\alpha\\approx 1+\\alpha x$, где $x\\rightarrow 0$: | Воспользуемся формулой для малых величин $(1+x)^\\alpha\\approx 1+\\alpha x$, где $x\\rightarrow 0$: | ||
| $$ | $$ | ||
| a' = a - dx | a' = a - dx | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -35,16 +35,16 @@Решение: | |||
| Таким образом, приращение координаты $a$ равно | Таким образом, приращение координаты $a$ равно | ||
| $$ | $$ | ||
| da = a' - a = dx | da = a' - a = -dx | ||
| $$ | $$ | ||
| Отсюда, скорость изменения расстояния между черепахами равна | Отсюда, скорость изменения расстояния между черепахами равна | ||
| $$ | $$ | ||
| u = \\frac{da}{dt} = -\\frac{dx}{dt}=-v | u = \\frac{da}{dt} = -\\frac{dx}{dt}=-v | ||
| $$ | $$ | ||
| Отсюда следуе |
Отсюда следует, что через $a=0$, через промежуток времени | ||
| $$ | $$ | ||
| t = a/v | t = a/v | ||
| $$ | $$ | ||
| Из симметрии задачи, следует, что все черепахи пройдут одинаковый путь и окажутся в центе квадрата. | Из симметрии задачи, следует, что все черепахи пройдут одинаковый путь и окажутся в центе квадрата. | ||
| __NO__: Интересно было бы узнать, что было бы если был бы не квадрат? Если было бы не $4$ черепахи, а $n$ штук? Более развернутую версию задачи можно найти в ["Очень длинных физических задачах"](https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart1.pdf) А.И.Слободянюка(Задача 1) | __NO__: Интересно было бы узнать, что было бы если был бы не квадрат? Если было бы не $4$ черепахи, а $n$ штук? Более развернутую версию задачи можно найти в ["Очень длинных физических задачах"](https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart1.pdf) А.И.Слободянюка(Задача 1) | ||
| #### Ответ: | #### Ответ: | ||
| В центре квадрата через время $t = a/v$. | В центре квадрата через время $t = a/v$. | ||
| ### Альтернативное решение: | ### Альтернативное решение: | ||
|  |  | ||
| unchanged lines 15 | |||