| @@ -1,24 +1,24 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $ 1.5.18^*.$ Стержень, одним концом шарнирно закрепленный на горизонтальной плоскости, лежит на цилиндре. Угловая скорость стержня $\omega$. Проскальзывания между цилиндром и плоскостью нет. Найдите зависимость угловой скорости цилиндра от угла $\alpha$ между стержнем и плоскостью. |
| $ 1.5.18^*.$ Стержень, одним концом шарнирно закрепленный на горизонтальной плоскости, лежит на цилиндре. Угловая скорость стержня $\omega$. Проскальзывания между цилиндром и плоскостью нет. Найдите зависимость угловой скорости цилиндра от угла $\alpha$ между стержнем и плоскостью. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
|  Цилиндр, вписанный в угол $\alpha$ |
|  |
| |
| |
| NO: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.17](../1.5.17) |
| __NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.17](../1.5.17) |
| |
| |
| К моменту времени $t$ стержень будет составлять угол $\alpha$ |
| К моменту времени $t$ стержень будет составлять угол $\alpha$ |
| |
| |
| Рассмотрим изменение координаты $x = AC$ за малый промежуток времени $dt$ |
| Рассмотрим изменение координаты $x = AC$ за малый промежуток времени $dt$ |
| |
| |
| $$dx = d(\frac{R}{\tan (\frac{\alpha}{2})})$$ |
| $$dx = d\left(\frac{R}{\tan (\frac{\alpha}{2})}\right)$$ |
| |
| |
| Делим обе части на $dt$ |
| Делим обе части на $dt$ |
| |
| |
| $$\frac{dx}{dt} = \frac{d(\frac{R}{\tan\alpha /2})}{dt}$$ |
| $$\frac{dx}{dt} = \frac{d\left(\frac{R}{\tan\alpha /2}\right)}{dt}$$ |
| |
| |
| Учитывая, что $\omega = \frac{d \alpha}{dt}$ и $v = \frac{dx}{dt}$ |
| Учитывая, что $\omega = \frac{d \alpha}{dt}$ и $v = \frac{dx}{dt}$ |
| |
| |
| $$v = \frac{\omega R}{2 \sin^2 (\frac{\alpha}{2})} $$ | | $$v = \frac{\omega R}{2 \sin^2 (\frac{\alpha}{2})} $$ |
| | | |
| Запишем условие отсутсвия проскальзывания | | Запишем условие отсутсвия проскальзывания |
| | | |
| $$\omega ' R = v$$ | | $$\omega ' R = v$$ |
| | | |
| Отсюда | | Отсюда |
| | | |
| $$\fbox{$\omega ' = \frac{\omega}{2 \sin^2 (\frac{\alpha}{2})}$}$$ | | $$\fbox{$\omega ' = \frac{\omega}{2 \sin^2 (\frac{\alpha}{2})}$}$$ |
| | | |
| ### Ответ: $\omega_0 = \omega /2 \sin^2 (\alpha /2)$ | | ### Ответ: $\omega_0 = \omega /2 \sin^2 (\alpha /2)$ |
| | | |
| ### Альтернативное решение: | | ### Альтернативное решение: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
