Edit to “Решение”
ru/1.4.18.md
+6 −6
| ### Условие: | |||
| $1.4.18^*.$ Мальчик, который может плавать со скоростью, в два раза меньшейскорости течения реки, хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесет, если ширина реки $H = 200$ м? | |||
| ### Решение: | |||
| Рассмотрим движения мальчика со скоростью $\vec{v}$, когда его сносит река с течением $\vec{u}$ | |||
|  | |||
| @@ -11,9 +11,9 @@Решение: | |||
| Распишем в проекциях на горизонтальную и вертикальные оси, учитывая, что $u = 2v$ | |||
| − | $v_x = 2v - v \cos\alpha$ | ||
| + | $$v_x = 2v - v \cos\alpha$$ | ||
| − | $v_y = v \sin\alpha$ | ||
| + | $$v_y = v \sin\alpha$$ | ||
| Найдем время за которое мальчик переплывет реку | |||
| $$t = \frac{H}{v_y} = \frac{H}{v \sin\alpha}$$ | |||
| За время $t$ его снесет вдоль берега на величину | |||
| $$L = v_xt = H\frac{2 - \cos\alpha}{\sin\alpha}\quad(1)$$ | |||
| @@ -26,19 +26,19 @@Решение: | |||
| Для того чтобы найти минимум $L$ необходимо найти экстремум функции $f(\alpha ) = \frac{2 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$ на интервале $\alpha\in (0,\pi )$ | |||
| − |  | ||
| + |  | ||
| Найдем $\alpha$, при котором производная равна $0$ | |||
| $$\frac{df}{d \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - \cos\alpha (2-\cos\alpha )}{\sin^2 \alpha}=0$$ | |||
| − | $1-2 \cos\alpha =0$ | ||
| + | $$1-2 \cos\alpha =0$$ | ||
| − | $\fbox{$\alpha = \pi /3$}$ | ||
| + | $$\fbox{$\alpha = \pi /3$}$$ | ||
| Подставляем в $(1)$ и находим расстояние на которое его снесет | |||
| − | $\fbox{$L = H\sqrt{3}$}$ | ||
| + | $$\fbox{$L = H\sqrt{3}$}$$ | ||
| ### Ответ: | |||
| $\alpha = 60^{\circ}$$l = 200 \sqrt{3} \approx 345$ м | |||
| ### Альтернативное решение: | |||
|  | |||
| unchanged lines 6 | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $1.4.18^*.$ Мальчик, который может плавать со скоростью, в два раза меньшейскорости течения реки, хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесет, если ширина реки $H = 200$ м? | $1.4.18^*.$ Мальчик, который может плавать со скоростью, в два раза меньшейскорости течения реки, хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесет, если ширина реки $H = 200$ м? | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| Рассмотрим движения мальчика со скоростью $\vec{v}$, когда его сносит река с течением $\vec{u}$ | Рассмотрим движения мальчика со скоростью $\vec{v}$, когда его сносит река с течением $\vec{u}$ | ||
|  |  | ||
| @@ -11,9 +11,9 @@Решение: | |||
| Распишем в проекциях на горизонтальную и вертикальные оси, учитывая, что $u = 2v$ | Распишем в проекциях на горизонтальную и вертикальные оси, учитывая, что $u = 2v$ | ||
| $v_x = 2v - v \cos\alpha$ | $$v_x = 2v - v \cos\alpha$$ | ||
| $v_y = v \sin\alpha$ | $$v_y = v \sin\alpha$$ | ||
| Найдем время за которое мальчик переплывет реку | Найдем время за которое мальчик переплывет реку | ||
| $$t = \frac{H}{v_y} = \frac{H}{v \sin\alpha}$$ | $$t = \frac{H}{v_y} = \frac{H}{v \sin\alpha}$$ | ||
| За время $t$ его снесет вдоль берега на величину | За время $t$ его снесет вдоль берега на величину | ||
| $$L = v_xt = H\frac{2 - \cos\alpha}{\sin\alpha}\quad(1)$$ | $$L = v_xt = H\frac{2 - \cos\alpha}{\sin\alpha}\quad(1)$$ | ||
| @@ -26,19 +26,19 @@Решение: | |||
| Для того чтобы найти минимум $L$ необходимо найти экстремум функции $f(\alpha ) = \frac{2 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$ на интервале $\alpha\in (0,\pi )$ | Для того чтобы найти минимум $L$ необходимо найти экстремум функции $f(\alpha ) = \frac{2 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$ на интервале $\alpha\in (0,\pi )$ | ||
|  |
 | ||
| Найдем $\alpha$, при котором производная равна $0$ | Найдем $\alpha$, при котором производная равна $0$ | ||
| $$\frac{df}{d \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - \cos\alpha (2-\cos\alpha )}{\sin^2 \alpha}=0$$ | $$\frac{df}{d \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - \cos\alpha (2-\cos\alpha )}{\sin^2 \alpha}=0$$ | ||
| $1-2 \cos\alpha =0$ | $$1-2 \cos\alpha =0$$ | ||
| $\fbox{$\alpha = \pi /3$}$ | $$\fbox{$\alpha = \pi /3$}$$ | ||
| Подставляем в $(1)$ и находим расстояние на которое его снесет | Подставляем в $(1)$ и находим расстояние на которое его снесет | ||
| $\fbox{$L = H\sqrt{3}$}$ | $$\fbox{$L = H\sqrt{3}$}$$ | ||
| ### Ответ: | ### Ответ: | ||
| $\alpha = 60^{\circ}$$l = 200 \sqrt{3} \approx 345$ м | $\alpha = 60^{\circ}$$l = 200 \sqrt{3} \approx 345$ м | ||
| ### Альтернативное решение: | ### Альтернативное решение: | ||
|  |  | ||
| unchanged lines 6 | |||