| @@ -1,30 +1,48 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $5.1.4.$ Определите среднеквадратичное отклонение маятника от положения равновесия, вызываемое тепловым движением шарика маятника. Температура воздуха $20 ~^{\circ}C$. Масса шарика $1 \mathrm{~мг}$, длина нити маятника $10 \mathrm{~м}$. |
| $5.1.4.$ Определите среднеквадратичное отклонение маятника от положения равновесия, вызываемое тепловым движением шарика маятника. Температура воздуха $20 ~^{\circ}C$. Масса шарика $1 \mathrm{~мг}$, длина нити маятника $10 \mathrm{~м}$. |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
| |
| Предположим, что шарик маятника ведёт себя как частица в тепловом равновесии со средой при температуре $T$. Тогда средняя кинетическая энергия шарика связана с температурой по формуле: |
| |
| |
| $$\bar{E}_K = \frac{3}{2}kT=\frac{m\bar{v}^2}{2}$$ |
| $$\bar{E}_K = \frac{3}{2}kT=\frac{m\bar{v}^2}{2}\quad(1)$$ |
| |
| |
| $$\bar{E}_K = E_p$$ |
| где $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура. |
| |
| |
| $$E_p = mgh = mg\ell(1-\cos\alpha)$$ |
| В условии равновесия и малых колебаний мы можем приравнять среднюю кинетическую энергию к средней потенциальной энергии отклонения маятника: |
| |
| |
| $$E_p=mg\ell\cdot2\sin^2\frac{\alpha}{2}\approx mg\ell\cdot\frac{\alpha ^2}{2}=mg\frac{\bar{x}^2}{2\ell}$$ |
| $$\bar{E}_K = E_p\quad(2)$$ |
| |
| |
| $$\frac{3}{2}kT=mg\frac{\bar{x}^2}{2\ell}$$ |
| Потенциальная энергия при отклонении маятника на угол $\alpha$ от вертикали: |
| |
| |
| $$ |
| $$E_p = mgh = mg\ell(1-\cos\alpha)\quad(3)$$ |
| \bar{x}^2=\frac{3kT\ell}{mg} |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| |
| где $m$ — масса шарика, $\ell$ — длина нити маятника, $g$ — ускорение свободного падения. |
| |
| |
| |
| Для малых углов $\alpha$, используя приближение $\sin\alpha \approx \alpha$, получим: |
| |
| |
| |
| |
| |
| $$E_p=mg\ell\cdot2\sin^2\frac{\alpha}{2}\approx mg\ell\cdot\frac{\alpha ^2}{2}\quad(4)$$ |
| |
| |
| |
| Учитывая связь углового смещения $\alpha$ и линейного смещения $\bar{x}$ при малых углах: |
| |
| |
| |
| $$\bar{x} \approx \ell \alpha\quad(5)$$ |
| |
| |
| |
| Подставляем $(5)$ в $(4)$: |
| |
| |
| |
| $$E_p=mg\frac{\bar{x}^2}{2\ell}\quad(6)$$ |
| |
| |
| |
| Учитываем $(6)$ в тождестве $(2)$ |
| |
| |
| |
| $$\frac{3}{2}kT=mg\frac{\bar{x}^2}{2\ell}\quad(7)$$ |
| |
| |
| |
| Откуда выражаем линейное смещение $\bar{x}$ |
| |
| |
| $$ |
| $$ |
| \bar{x}=\sqrt{\frac{3kT\ell}{mg}} = 6.4\cdot10^{-8}\mathrm{~м} |
| \bar{x}=\sqrt{\frac{3kT\ell}{mg}} = 6.4\cdot10^{-8}\mathrm{~м} |
| $$ |
| $$ |
| |
| |
|  |
| |
| |
| |
| ### Ответ: |
| ### Ответ: |
| |
| |
| $$\sqrt{\langle x^2\rangle}\approx6{,}4\cdot10^{-8}\mathrm{~м}.$$ |
| $$\sqrt{\langle x^2\rangle}\approx6{,}4\cdot10^{-8}\mathrm{~м}.$$ |
