Edit to “Решение”
ru/5.1.4.md
+8 −8
| ### Условие: | |||
| $5.1.4.$ Определите среднеквадратичное отклонение маятника от положения равновесия, вызываемое тепловым движением шарика маятника. Температура воздуха $20 ~^{\circ}C$. Масса шарика $1 \mathrm{~мг}$, длина нити маятника $10 \mathrm{~м}$. | |||
| ### Решение: | |||
|  | |||
| @@ -8,42 +8,42 @@Решение: | |||
| Предположим, что шарик маятника ведёт себя как частица в тепловом равновесии со средой при температуре $T$. Тогда средняя кинетическая энергия шарика связана с температурой по формуле: | |||
| − | $$\bar{E}_K = \frac{3}{2}kT=\frac{m\bar{v}^2}{2} | ||
| + | $$\bar{E}_K = \frac{3}{2}kT=\frac{m\bar{v}^2}{2}\tag{1}$$ | ||
| где $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура. | |||
| В условии равновесия и малых колебаний мы можем приравнять среднюю кинетическую энергию к средней потенциальной энергии отклонения маятника: | |||
| − | $$\bar{E}_K = E_p | ||
| + | $$\bar{E}_K = E_p\tag{2}$$ | ||
| Потенциальная энергия при отклонении маятника на угол $\alpha$ от вертикали: | |||
| − | $$E_p = mgh = mg\ell(1-\cos\alpha) | ||
| + | $$E_p = mgh = mg\ell(1-\cos\alpha)\tag{3}$$ | ||
| где $m$ — масса шарика, $\ell$ — длина нити маятника, $g$ — ускорение свободного падения. | |||
| Для малых углов $\alpha$, используя приближение $\sin\alpha \approx \alpha$, получим: | |||
| − | $$E_p=mg\ell\cdot2\sin^2\frac{\alpha}{2}\approx mg\ell\cdot\frac{\alpha ^2}{2} | ||
| + | $$E_p=mg\ell\cdot2\sin^2\frac{\alpha}{2}\approx mg\ell\cdot\frac{\alpha ^2}{2}\tag{4}$$ | ||
| Учитывая связь углового смещения $\alpha$ и линейного смещения $\bar{x}$ при малых углах: | |||
| − | $$\bar{x} \approx \ell \alpha | ||
| + | $$\bar{x} \approx \ell \alpha\tag{5}$$ | ||
| Подставляем $(5)$ в $(4)$: | |||
| − | $$E_p=mg\frac{\bar{x}^2}{2\ell} | ||
| + | $$E_p=mg\frac{\bar{x}^2}{2\ell}\tag{6}$$ | ||
| Учитываем $(6)$ в тождестве $(2)$ | |||
| − | $$\frac{3}{2}kT=mg\frac{\bar{x}^2}{2\ell} | ||
| + | $$\frac{3}{2}kT=mg\frac{\bar{x}^2}{2\ell}\tag{7}$$ | ||
| Откуда выражаем линейное смещение $\bar{x}$ | |||
| $$ | |||
| − | \boxed{\bar{x}=\sqrt{\frac{3kT\ell}{mg}} = 6.4\cdot10^{-8}\mathrm{~м}} | ||
| + | \boxed{\bar{x}=\sqrt{\frac{3kT\ell}{mg}} = 6.4\cdot10^{-8}\mathrm{~м}}\tag{8} | ||
| $$ | |||
| ### Ответ: | |||
| $$\sqrt{\langle x^2\rangle}\approx6{,}4\cdot10^{-8}\mathrm{~м}.$$ | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $5.1.4.$ Определите среднеквадратичное отклонение маятника от положения равновесия, вызываемое тепловым движением шарика маятника. Температура воздуха $20 ~^{\circ}C$. Масса шарика $1 \mathrm{~мг}$, длина нити маятника $10 \mathrm{~м}$. | $5.1.4.$ Определите среднеквадратичное отклонение маятника от положения равновесия, вызываемое тепловым движением шарика маятника. Температура воздуха $20 ~^{\circ}C$. Масса шарика $1 \mathrm{~мг}$, длина нити маятника $10 \mathrm{~м}$. | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
|  |  | ||
| @@ -8,42 +8,42 @@Решение: | |||
| Предположим, что шарик маятника ведёт себя как частица в тепловом равновесии со средой при температуре $T$. Тогда средняя кинетическая энергия шарика связана с температурой по формуле: | Предположим, что шарик маятника ведёт себя как частица в тепловом равновесии со средой при температуре $T$. Тогда средняя кинетическая энергия шарика связана с температурой по формуле: | ||
| $$\bar{E}_K = \frac{3}{2}kT=\frac{m\bar{v}^2}{2} |
$$\bar{E}_K = \frac{3}{2}kT=\frac{m\bar{v}^2}{2}\tag{1}$$ | ||
| где $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура. | где $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура. | ||
| В условии равновесия и малых колебаний мы можем приравнять среднюю кинетическую энергию к средней потенциальной энергии отклонения маятника: | В условии равновесия и малых колебаний мы можем приравнять среднюю кинетическую энергию к средней потенциальной энергии отклонения маятника: | ||
| $$\bar{E}_K = E_p |
$$\bar{E}_K = E_p\tag{2}$$ | ||
| Потенциальная энергия при отклонении маятника на угол $\alpha$ от вертикали: | Потенциальная энергия при отклонении маятника на угол $\alpha$ от вертикали: | ||
| $$E_p = mgh = mg\ell(1-\cos\alpha) |
$$E_p = mgh = mg\ell(1-\cos\alpha)\tag{3}$$ | ||
| где $m$ — масса шарика, $\ell$ — длина нити маятника, $g$ — ускорение свободного падения. | где $m$ — масса шарика, $\ell$ — длина нити маятника, $g$ — ускорение свободного падения. | ||
| Для малых углов $\alpha$, используя приближение $\sin\alpha \approx \alpha$, получим: | Для малых углов $\alpha$, используя приближение $\sin\alpha \approx \alpha$, получим: | ||
| $$E_p=mg\ell\cdot2\sin^2\frac{\alpha}{2}\approx mg\ell\cdot\frac{\alpha ^2}{2} |
$$E_p=mg\ell\cdot2\sin^2\frac{\alpha}{2}\approx mg\ell\cdot\frac{\alpha ^2}{2}\tag{4}$$ | ||
| Учитывая связь углового смещения $\alpha$ и линейного смещения $\bar{x}$ при малых углах: | Учитывая связь углового смещения $\alpha$ и линейного смещения $\bar{x}$ при малых углах: | ||
| $$\bar{x} \approx \ell \alpha |
$$\bar{x} \approx \ell \alpha\tag{5}$$ | ||
| Подставляем $(5)$ в $(4)$: | Подставляем $(5)$ в $(4)$: | ||
| $$E_p=mg\frac{\bar{x}^2}{2\ell} |
$$E_p=mg\frac{\bar{x}^2}{2\ell}\tag{6}$$ | ||
| Учитываем $(6)$ в тождестве $(2)$ | Учитываем $(6)$ в тождестве $(2)$ | ||
| $$\frac{3}{2}kT=mg\frac{\bar{x}^2}{2\ell} |
$$\frac{3}{2}kT=mg\frac{\bar{x}^2}{2\ell}\tag{7}$$ | ||
| Откуда выражаем линейное смещение $\bar{x}$ | Откуда выражаем линейное смещение $\bar{x}$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \boxed{\bar{x}=\sqrt{\frac{3kT\ell}{mg}} = 6.4\cdot10^{-8}\mathrm{~м}} |
\boxed{\bar{x}=\sqrt{\frac{3kT\ell}{mg}} = 6.4\cdot10^{-8}\mathrm{~м}}\tag{8} | ||
| $$ | $$ | ||
| ### Ответ: | ### Ответ: | ||
| $$\sqrt{\langle x^2\rangle}\approx6{,}4\cdot10^{-8}\mathrm{~м}.$$ | $$\sqrt{\langle x^2\rangle}\approx6{,}4\cdot10^{-8}\mathrm{~м}.$$ | ||