Решение

Период колебаний жидкости можно выразить через коэффициенты, зависящие от кинетической и потенциальной энергии системы:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$$

Кинетическая энергия жидкости:

$$E_k = \frac{m\upsilon^2}{2}=\beta v^2$$

Здесь $m$ — масса жидкости, а $\upsilon$ — скорость её движения. Для определения коэффициента $\beta$ мы берем половину массы жидкости:

$$\beta = \frac{m}{2}$$

Потенциальная энергия жидкости в вертикальном столбе:

$$E_p = m'gx$$

Здесь $m' = m\frac{x}{l}$ — масса перемещённой части жидкости, пропорциональная смещению $x$, $g$ — ускорение свободного падения. Подставляя $m'$:

$$E_p = m\frac{x}{l}gx = \frac{mg}{l}x^2 = \alpha x^2$$

Для коэффициента $\alpha$ остаётся:

$$\alpha = \frac{mg}{l}$$

Теперь подставим выражения для $\alpha$ и $\beta$ в формулу периода колебаний:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{m}{2}}{\frac{mg}{l}}}$$

Упростим дробь:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{2g}}$$