|  | |  |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Пробка перекрывает два отверстия разного радиуса \( r \) и \( R \), образуя усечённый конус с высотой \( h \). Объём усечённого конуса вычисляется по формуле: | | Пробка перекрывает два отверстия разного радиуса \( r \) и \( R \), образуя усечённый конус с высотой \( h \). Объём усечённого конуса вычисляется по формуле: |
| | | |
| $$V=\frac{1}{3}\pi h(r^{2}+R^{2}+rR)$$ | | $$V=\frac{1}{3}\pi h(r^{2}+R^{2}+rR)$$ |
| | | |
| Архимедова сила \( F_A \) равна весу вытесненной жидкости, а значит: | | Архимедова сила \( F_A \) равна весу вытесненной жидкости, а значит: |
| | | |
| \[ | | \[ |
| F_A = \rho g V | | F_A = \rho g V |
| \] | | \] |
| | | |
| где \( \rho \) — плотность жидкости, \( g \) — ускорение свободного падения. | | где \( \rho \) — плотность жидкости, \( g \) — ускорение свободного падения. |
| Подставляем объём усечённого конуса: | | Подставляем объём усечённого конуса: |
| | | |
| \[ | | \[ |
| F_A = \rho g \cdot \frac{1}{3} \pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right) | | F_A = \rho g \cdot \frac{1}{3} \pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right) |
| \] | | \] |
| | | |
| Давление жидкости действует на все поверхности пробки, но силу \( F \), действующую на пробку, можно представить как разность: | | Давление жидкости действует на все поверхности пробки, но силу \( F \), действующую на пробку, можно представить как разность: |
| | | |
| \[ | | \[ |
| F = F_A - F_g | | F = F_A - F_g |
| \] | | \] |
| | | |
| где \( F_g \) — сила давления на нижнее основание пробки. | | где \( F_g \) — сила давления на нижнее основание пробки. |
| | | |
| Давление \( p \) на глубине \( h \): | | Давление \( p \) на глубине \( h \): |
| | | |
| \[ | | \[ |
| p = \rho g h | | p = \rho g h |
| \] | | \] |
| | | |
| Сила \( F_g \), действующая на нижнее основание радиуса \( r \): | | Сила \( F_g \), действующая на нижнее основание радиуса \( r \): |
| | | |
| \[ | | \[ |
| F_g = \pi r^2 p | | F_g = \pi r^2 p |
| \] | | \] |
| | | |
| Подставляем значения в формулу \( F \): | | Подставляем значения в формулу \( F \): |
| | | |
| \[ | | \[ |
| F = \frac{\rho g \pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p | | F = \frac{\rho g \pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p |
| \] | | \] |
| | | |
| Заменяем \( \rho g h \) на \( p \): | | Заменяем \( \rho g h \) на \( p \): |
| | | |
| \[ | | \[ |
| F = \frac{\pi p \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p | | F = \frac{\pi p \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p |
| \] | | \] |
| | | |
| Приводим к общему знаменателю: | | Приводим к общему знаменателю: |
| | | |
| \[ | | \[ |
| F = \frac{\pi p \left(R^2 + rR - 2r^2\right)}{3} | | F = \frac{\pi p \left(R^2 + rR - 2r^2\right)}{3} |
| \] | | \] |
| | | |
| ### Ответ: $F=\frac{\pi pd(R^{2}+rR-2r^{2})}{3}$ | | ### Ответ: $F=\frac{\pi pd(R^{2}+rR-2r^{2})}{3}$ |
