Правка раздела «Условие»
ru/4.1.6.md
+1 −1
| @@ -1,8 +1,8 @@ | |||
| ### Условие: | |||
| $4.1.6.$ Коническая пробка перекрывает сразу два отверстия в плоском сосуде, заполненном жидкостью при давлении $P$. Радиус отверстий $r$ и $R$. Определите силу, действующую на пробку со стороны жидкости. | |||
| − |  | ||
| ### Решение: | |||
|  | |||
|  | |||
| Пробка перекрывает два отверстия разного радиуса \( r \) и \( R \), образуя усечённый конус с высотой \( h \). Объём усечённого конуса вычисляется по формуле: | |||
| $$V=\frac{1}{3}\pi h(r^{2}+R^{2}+rR)$$ | |||
| Архимедова сила \( F_A \) равна весу вытесненной жидкости, а значит: | |||
| \[ | |||
| F_A = \rho g V | |||
| \] | |||
| где \( \rho \) — плотность жидкости, \( g \) — ускорение свободного падения. | |||
| Подставляем объём усечённого конуса: | |||
| \[ | |||
| F_A = \rho g \cdot \frac{1}{3} \pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right) | |||
| \] | |||
| Давление жидкости действует на все поверхности пробки, но силу \( F \), действующую на пробку, можно представить как разность: | |||
| \[ | |||
| F = F_A - F_g | |||
| \] | |||
| где \( F_g \) — сила давления на нижнее основание пробки. | |||
| Давление \( p \) на глубине \( h \): | |||
| \[ | |||
| p = \rho g h | |||
| \] | |||
| Сила \( F_g \), действующая на нижнее основание радиуса \( r \): | |||
| \[ | |||
| F_g = \pi r^2 p | |||
| \] | |||
| Подставляем значения в формулу \( F \): | |||
| \[ | |||
| F = \frac{\rho g \pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p | |||
| \] | |||
| Заменяем \( \rho g h \) на \( p \): | |||
| \[ | |||
| F = \frac{\pi p \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p | |||
| \] | |||
| Приводим к общему знаменателю: | |||
| \[ | |||
| F = \frac{\pi p \left(R^2 + rR - 2r^2\right)}{3} | |||
| \] | |||
| ### Ответ: $F=\frac{\pi pd(R^{2}+rR-2r^{2})}{3}$ | |||
| ещё строк без изменений 60 | |||
| @@ -1,8 +1,8 @@ | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $4.1.6.$ Коническая пробка перекрывает сразу два отверстия в плоском сосуде, заполненном жидкостью при давлении $P$. Радиус отверстий $r$ и $R$. Определите силу, действующую на пробку со стороны жидкости. | $4.1.6.$ Коническая пробка перекрывает сразу два отверстия в плоском сосуде, заполненном жидкостью при давлении $P$. Радиус отверстий $r$ и $R$. Определите силу, действующую на пробку со стороны жидкости. | ||
|  | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
|  |  | ||
|  |  | ||
| Пробка перекрывает два отверстия разного радиуса \( r \) и \( R \), образуя усечённый конус с высотой \( h \). Объём усечённого конуса вычисляется по формуле: | Пробка перекрывает два отверстия разного радиуса \( r \) и \( R \), образуя усечённый конус с высотой \( h \). Объём усечённого конуса вычисляется по формуле: | ||
| $$V=\frac{1}{3}\pi h(r^{2}+R^{2}+rR)$$ | $$V=\frac{1}{3}\pi h(r^{2}+R^{2}+rR)$$ | ||
| Архимедова сила \( F_A \) равна весу вытесненной жидкости, а значит: | Архимедова сила \( F_A \) равна весу вытесненной жидкости, а значит: | ||
| \[ | \[ | ||
| F_A = \rho g V | F_A = \rho g V | ||
| \] | \] | ||
| где \( \rho \) — плотность жидкости, \( g \) — ускорение свободного падения. | где \( \rho \) — плотность жидкости, \( g \) — ускорение свободного падения. | ||
| Подставляем объём усечённого конуса: | Подставляем объём усечённого конуса: | ||
| \[ | \[ | ||
| F_A = \rho g \cdot \frac{1}{3} \pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right) | F_A = \rho g \cdot \frac{1}{3} \pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right) | ||
| \] | \] | ||
| Давление жидкости действует на все поверхности пробки, но силу \( F \), действующую на пробку, можно представить как разность: | Давление жидкости действует на все поверхности пробки, но силу \( F \), действующую на пробку, можно представить как разность: | ||
| \[ | \[ | ||
| F = F_A - F_g | F = F_A - F_g | ||
| \] | \] | ||
| где \( F_g \) — сила давления на нижнее основание пробки. | где \( F_g \) — сила давления на нижнее основание пробки. | ||
| Давление \( p \) на глубине \( h \): | Давление \( p \) на глубине \( h \): | ||
| \[ | \[ | ||
| p = \rho g h | p = \rho g h | ||
| \] | \] | ||
| Сила \( F_g \), действующая на нижнее основание радиуса \( r \): | Сила \( F_g \), действующая на нижнее основание радиуса \( r \): | ||
| \[ | \[ | ||
| F_g = \pi r^2 p | F_g = \pi r^2 p | ||
| \] | \] | ||
| Подставляем значения в формулу \( F \): | Подставляем значения в формулу \( F \): | ||
| \[ | \[ | ||
| F = \frac{\rho g \pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p | F = \frac{\rho g \pi h \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p | ||
| \] | \] | ||
| Заменяем \( \rho g h \) на \( p \): | Заменяем \( \rho g h \) на \( p \): | ||
| \[ | \[ | ||
| F = \frac{\pi p \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p | F = \frac{\pi p \left(r^2 + R^2 + rR\right)}{3} - \pi r^2 p | ||
| \] | \] | ||
| Приводим к общему знаменателю: | Приводим к общему знаменателю: | ||
| \[ | \[ | ||
| F = \frac{\pi p \left(R^2 + rR - 2r^2\right)}{3} | F = \frac{\pi p \left(R^2 + rR - 2r^2\right)}{3} | ||
| \] | \] | ||
| ### Ответ: $F=\frac{\pi pd(R^{2}+rR-2r^{2})}{3}$ | ### Ответ: $F=\frac{\pi pd(R^{2}+rR-2r^{2})}{3}$ | ||
| ещё строк без изменений 60 | |||