| @@ -1,44 +1,35 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.7.1.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $2.7.1.$ Два подобных маховика изготовлены из одного металла, причем линейные размеры второго вдвое больше линейных размеров первого. Как относятся кинетические энергии маховиков при одной и той же угловой скорости вращения вокруг оси? |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | − | |
| | − | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | + | Кинетическая энергия вращающегося маховика, определяется |
| | | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | + | $$ |
| | + | K = \frac{I\omega ^2}{2}\quad(1) |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | + | Где, $I$ — момент инерции маховика, а $\omega$ — угловая скорость вращения |
| | | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | + | При одной и той же угловой скорости вращения вокруг оси, кинетические энергии маховиках относятся как |
| | | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | + | $$ |
| | + | \frac{K_2}{K_1} = \frac{I_2}{I_1} \quad(2) |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | + | При этом, момент инерции маховика прямопропорционален массе маховика и квадрату расстояния до оси вращения $(I = mr^2)$. Полученное отношение $(2)$ запишем как |
| | | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | + | $$ |
| | + | K = \frac{m_1r_1^2}{m_2r_2^2} = \frac{V_1r_1^2}{V_2r_2^2} |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | + | Где, $m_1, V_1$ и $m_2, V_2$ — масса и объём маховика первого и второго маховика, соответственно |
| | | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | + | Учитывая, что линейные размеры тела увеличиваются в трёх плоскостях $(V \sim r^3)$: |
| | | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | + | $$ |
| | + | K = \frac{V_1r_1^2}{V_2r_2^2} = \frac{r_1^5}{r_2^5} = 32 |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | − | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | − | |
| | − | #### Ответ |
| | − | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | − | |
| | − | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | #### Ответ: $K_2/K_1 = 32$ |
