Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/2.7.5.md
+16 −30
| @@ -1,44 +1,30 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $2.7.5.$ [Вставьте описание задачи] | ||
| + | $2.7.5^*.$ Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг оси, пропорциональна квадрату угловой скорости: $K = J\omega^2/2$. Коэффициент $J$ называется моментом инерции относительно данной оси. Найдите момент инерции для гантели, представляющей собой точечные массы $m_1$ и $m_2$ на концах легкого стержня, если ось ее вращения перпендикулярна стержню и находится на расстоянии $r_1$ и $r_2$ от точечных масс | ||
| − | __Пример условия__: | ||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| − | |||
| ### Решение | |||
| − | [Здесь должно быть ваше решение] | ||
| + | Момент инерции тела, точечной массы | ||
| − | __Пример решения__: | ||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| + | $$ | ||
| + | J = mr^2\quad(1) | ||
| + | $$ | ||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| + | Для гантели момент инерции складывается из вкладов двух точечных масс: | ||
| − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | ||
| + | $$ | ||
| + | J = J_1 +J_2 \quad(2) | ||
| + | $$ | ||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| + | Подставляем $J_1 = m_1r_1^2$ и $J_2 = m_2r_2^2$: | ||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| + | $$ | ||
| + | J=m_1r_1^2+m_2r_2^2\quad(3) | ||
| + | $$ | ||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | |||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| − | |||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | J=m_1r_1^2+m_2r_2^2. | ||
| + | $$ | ||
| @@ -1,44 +1,30 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.7.5.$ [Вставьте описание задачи] | $2.7.5^*.$ Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг оси, пропорциональна квадрату угловой скорости: $K = J\omega^2/2$. Коэффициент $J$ называется моментом инерции относительно данной оси. Найдите момент инерции для гантели, представляющей собой точечные массы $m_1$ и $m_2$ на концах легкого стержня, если ось ее вращения перпендикулярна стержню и находится на расстоянии $r_1$ и $r_2$ от точечных масс | ||
| __Пример условия__: | |||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| [Здесь должно быть ваше решение] | Момент инерции тела, точечной массы | ||
| __Пример решения__: | $$ | ||
| Ускорение тела задано как | J = mr^2\quad(1) | ||
| $$ | |||
| $$a(t) = bt$$ | Для гантели момент инерции складывается из вкладов двух точечных масс: | ||
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | $$ | ||
| J = J_1 +J_2 \quad(2) | |||
| $$ | |||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | Подставляем $J_1 = m_1r_1^2$ и $J_2 = m_2r_2^2$: | ||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | $$ | ||
| J=m_1r_1^2+m_2r_2^2\quad(3) | |||
| $$ | |||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | |||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | $$ | ||
| J=m_1r_1^2+m_2r_2^2. | |||
| $$ | |||
| __Пример ответа__: | |||
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | |||