Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ: ; да”

astrosander edited
View solution History
revision #12088 parent #10849 ← older newer →
ru/2.5.1.md +29 −3
@@ -1,9 +1,35 @@
### Условие:
−2.5.1. Два тела в результате столкновения обменялись скоростями, продолжая двигаться по одной и той же прямой. Каково отношение масс этих тел? Является ли их столкновение упругим?
+$2.5.1.$ Два тела в результате столкновения обменялись скоростями, продолжая двигаться по одной и той же прямой. Каково отношение масс этих тел? Является ли их столкновение упругим?
### Решение:
−Пусть тела массами $m_1$ и $m_2$ движутся со скоростями $v_1$ и $v_2$ навстречу друг другу. Запишем закон сохранения импульса $m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v_2} + m_2\vec{v_1}$, (1) здесь учтено, что по условию задачи тела обменялись скоростями. Спроецируем (1) на ось $x$ $m_1v_1 - m_2v_2 = -m_1v_2 + m_2v_1$, (2) или $m_1(v_1 + v_2) = m_2(v_1 + v_2)$. (3) Из уравнения (3) следует, что $m_1 = m_2$. Запишем закон сохранения кинетической энергии $\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{m_1v_2^2}{2} + \frac{m_2v_1^2}{2}$. (4) Перепишем (4) $\frac{m_1}{2}(v_1^2 – v_2^2) = \frac{m_2}{2}(v_1^2 - v_2^2)$. (5) Из уравнения (5) следует, что $m_1 = m_2$. Уравнение (4) выполняется только для абсолютно упругого удара. Вывод: условие задачи выполняется для взаимодействующих упруго тел равной массы.
+Пусть тела массами $m_1$ и $m_2$ движутся со скоростями $v_1$ и $v_2$ навстречу друг другу.
−### Ответ: $\fbox{$\frac{m_1}{m_2} = 1$; да}$
+Запишем закон сохранения импульса
+
+$$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v_2} + m_2\vec{v_1} \quad (1)$$
+
+здесь учтено, что по условию задачи тела обменялись скоростями.
+
+Проецируем это уравнение на ось $Ox$:
+
+$$m_1v_1 - m_2v_2 = -m_1v_2 + m_2v_1 \quad(2)$$
+
+Упростим уравнение, перегруппировав:
+
+$$m_1(v_1 + v_2) = m_2(v_1 + v_2)\quad(3)$$
+
+Из уравнения $(3)$ следует, что $m_1 = m_2.$
+
+Проверим, является ли столкновение упругим. Для этого запишем закон сохранения кинетической энергии:
+
+$$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{m_1v_2^2}{2} + \frac{m_2v_1^2}{2} \quad (4)$$
+
+Перегруппируем полученное уравнение:
+
+$$\frac{m_1}{2}(v_1^2 – v_2^2) = \frac{m_2}{2}(v_1^2 - v_2^2)\quad(5)$$
+
+Из уравнения $(5)$ следует, что $m_1 = m_2$. Уравнение $(4)$ выполняется только для абсолютно упругого удара. Вывод: условие задачи выполняется для взаимодействующих упруго тел равной массы.
+
+#### Ответ: $\frac{m_1}{m_2} = 1$; да