Решение

Частота $\omega$ связана с параметрами системы уравнением:

$$\omega =\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$$

где $\alpha$ — коэффициент, связанный с потенциальной энергией, а $\beta$ — коэффициент, связанный с кинетической энергией.

Кинетическая энергия колеблющейся массы записывается как:

$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}\Rightarrow \beta =\frac{m}{2}$$

Потенциальная энергия $E_p$ складывается из двух частей:

1. Энергия, связанная с маятником ($E_p^{(1)}$):
   $$E_p^{(1)} = mgl(1 - \cos\varphi).$$
   При малых углах $\varphi$ справедливо приближение $\cos\varphi \approx 1 - \frac{\varphi^2}{2}$, поэтому:
   $$E_p^{(1)} \approx \frac{1}{2} mgl \varphi^2.$$

2. Энергия, связанная с растяжением пружины ($E_p^{(2)}$):
   Если маятник отклоняется на угол $\varphi$, горизонтальное смещение точки крепления пружины к середине стержня составляет $x = \frac{l}{2} \varphi$. Потенциальная энергия пружины:
   $$E_p^{(2)} = \frac{1}{2} k \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} k \left(\frac{l \varphi}{2}\right)^2.$$

Суммарная потенциальная энергия:

$$E_p = E_p^{(1)} + E_p^{(2)} = \frac{1}{2} mgl \varphi^2 + \frac{1}{8} k l^2 \varphi^2.$$

Сравнивая $E_p$ с выражением $E_p = \frac{\alpha}{2} \varphi^2$, получаем:
$$\alpha = \frac{mg}{l} + \frac{k}{4}.$$

$$E_p=mgl(1-\cos\varphi)+\frac{k(x/2)^2}{2}$$

$$=\frac{mgl\varphi^2}{2}+\frac{kx^2}{8}$$

$$=\frac{mgl}{2}\frac{x^2}{l^2}+\frac{kx^2}{8}$$

$$=x^2(\frac{mg}{2l}+\frac{k}{8})$$

$$\Rightarrow \alpha=\frac{mg}{2l}+\frac{k}{8}$$

$$\omega^2=\frac{g}{l}+\frac{k}{4m}$$