Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

astrosander edited
View solution History
revision #12161 parent #11176 ← older newer →
ru/3.2.20.md +53 −10
@@ -1,25 +1,68 @@
### Условие:
$3.2.20.$ Как изменится частота колебаний маятника, представляющего собой груз на легком стержне, если к середине стержня прикрепить горизонтальную пружину жесткости $k$? На рисунке изображено состояние равновесия.
−![|302x345, 67%](../../img/3.2.20/3.2.20.png)
+![К задаче $3.2.20$|302x345, 20%](../../img/3.2.20/3.2.20.png)
### Решение:
−$\omega =\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$
+Частота \( \omega \) связана с параметрами системы уравнением:
+
+$$\omega =\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$$
+
+где \( \alpha \) — коэффициент, связанный с потенциальной энергией, а \( \beta \) — коэффициент, связанный с кинетической энергией.
+
+Кинетическая энергия колеблющейся массы записывается как:
+
+$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}\Rightarrow \beta =\frac{m}{2}$$
+
+---
+
+Потенциальная энергия \( E_p \) складывается из двух частей:
+
+1. Энергия, связанная с маятником (\( E_p^{(1)} \)):
+ \[
+ E_p^{(1)} = mgl(1 - \cos\varphi).
+ \]
+ При малых углах \( \varphi \) справедливо приближение \( \cos\varphi \approx 1 - \frac{\varphi^2}{2} \), поэтому:
+ \[
+ E_p^{(1)} \approx \frac{1}{2} mgl \varphi^2.
+ \]
+
+2. Энергия, связанная с растяжением пружины (\( E_p^{(2)} \)):
+ Если маятник отклоняется на угол \( \varphi \), горизонтальное смещение точки крепления пружины к середине стержня составляет \( x = \frac{l}{2} \varphi \). Потенциальная энергия пружины:
+ \[
+ E_p^{(2)} = \frac{1}{2} k \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} k \left(\frac{l \varphi}{2}\right)^2.
+ \]
+
+Суммарная потенциальная энергия:
+
+\[
+E_p = E_p^{(1)} + E_p^{(2)} = \frac{1}{2} mgl \varphi^2 + \frac{1}{8} k l^2 \varphi^2.
+\]
+
+Сравнивая \( E_p \) с выражением \( E_p = \frac{\alpha}{2} \varphi^2 \), получаем:
+\[
+\alpha = \frac{mg}{l} + \frac{k}{4}.
+\]
+
+---
+
+$$E_p=mgl(1-\cos\varphi)+\frac{k(x/2)^2}{2}$$
+
+$$=\frac{mgl\varphi^2}{2}+\frac{kx^2}{8}$$
+
+$$=\frac{mgl}{2}\frac{x^2}{l^2}+\frac{kx^2}{8}$$
+
+$$=x^2(\frac{mg}{2l}+\frac{k}{8})$$
+
+$$\Rightarrow \alpha=\frac{mg}{2l}+\frac{k}{8}$$
−$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}\Rightarrow \beta =\frac{m}{2}$
+$$\omega^2=\frac{g}{l}+\frac{k}{4m}$$
−$E_p=mgl(1-\cos\varphi)+\frac{k(x/2)^2}{2}$$=\frac{mgl\varphi^2}{2}+\frac{kx^2}{8}$$=\frac{mgl}{2}\frac{x^2}{l^2}+\frac{kx^2}{8}$$=x^2(\frac{mg}{2l}+\frac{k}{8})$$\Rightarrow \alpha$$=\frac{mg}{2l}+\frac{k}{8}$
−
−$\omega^2=\frac{g}{l}+\frac{k}{4m}$
−
−
### Альтернативное решение:
![|758x866, 67%](../../img/3.2.20/01.jpg)
### Ответ: $\omega^2=\frac{g}{l}+\frac{k}{4m}$.
−
−###