Edits to “Решение”, “Альтернативное решение”, “Ответ”

astrosander edited Dec 19, 2024, 4:36 AM

View solution History

revision #12162 parent #12161 ← older newer →

ru/3.2.20.md +7 −18

			### Условие:

			$3.2.20.$ Как изменится частота колебаний маятника, представляющего собой груз на легком стержне, если к середине стержня прикрепить горизонтальную пружину жесткости $k$? На рисунке изображено состояние равновесия.

			![К задаче $3.2.20$\|302x345, 20%](../../img/3.2.20/3.2.20.png)

			### Решение:

			Частота $ \omega $ связана с параметрами системы уравнением:

			$$\omega =\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$$

			где $ \alpha $ — коэффициент, связанный с потенциальной энергией, а $ \beta $ — коэффициент, связанный с кинетической энергией.
		@@ -14,10 +14,8 @@Решение:

			Кинетическая энергия колеблющейся массы записывается как:

		−	$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}\Rightarrow \beta =~~\frac{m}{2}~~$$
		+	$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}\Rightarrow \beta = 1$$

		−	---
		−
			Потенциальная энергия $ E_p $ складывается из двух частей:

			1. Энергия, связанная с маятником ($ E_p^{(1)} $):
			\[
			E_p^{(1)} = mgl(1 - \cos\varphi).
			\]
			При малых углах $ \varphi $ справедливо приближение $ \cos\varphi \approx 1 - \frac{\varphi^2}{2} $, поэтому:
			\[
			E_p^{(1)} \approx \frac{1}{2} mgl \varphi^2.
			\]

			2. Энергия, связанная с растяжением пружины ($ E_p^{(2)} $):
			Если маятник отклоняется на угол $ \varphi $, горизонтальное смещение точки крепления пружины к середине стержня составляет $ x = \frac{l}{2} \varphi $. Потенциальная энергия пружины:
			\[
			E_p^{(2)} = \frac{1}{2} k \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} k \left(\frac{l \varphi}{2}\right)^2.
			\]

			Суммарная потенциальная энергия:

			\[
			E_p = E_p^{(1)} + E_p^{(2)} = \frac{1}{2} mgl \varphi^2 + \frac{1}{8} k l^2 \varphi^2.
			\]
		@@ -43,26 +41,17 @@Решение:

			Сравнивая $ E_p $ с выражением $ E_p = \frac{\alpha}{2} \varphi^2 $, получаем:
			\[
		−	\alpha = \frac{mg}{l} + \frac{k}{4}.
		+	\alpha = \frac{g}{l} + \frac{k}{4m}.
			\]

		−	---
		+	Подставляем $ \alpha $ и $ \beta $ в формулу для частоты:

		−	~~$$E_p=mgl(1-\cos\varphi)+\frac{k(x/2)^2}{2}$$~~
		+	\[
		+	\omega^2 = \frac{g}{l} + \frac{k}{4m}.
		+	\]

		−	$$=\frac{mgl\varphi^2}{2}+\frac{kx^2}{8}$$
		−
		−	$$=\frac{mgl}{2}\frac{x^2}{l^2}+\frac{kx^2}{8}$$
		−
		−	$$=x^2(\frac{mg}{2l}+\frac{k}{8})$$
		−
		−	$$\Rightarrow \alpha=\frac{mg}{2l}+\frac{k}{8}$$
		−
		−	$$\omega^2=\frac{g}{l}+\frac{k}{4m}$$
		−
		−
			### Альтернативное решение:

			![\|758x866, 67%](../../img/3.2.20/01.jpg)

		−	### Ответ: $\omega^2=\frac{g}{l}+\frac{k}{4m}$.
		+	#### Ответ: $\omega^2=\frac{g}{l}+\frac{k}{4m}$.

	### Условие:		### Условие:

	$3.2.20.$ Как изменится частота колебаний маятника, представляющего собой груз на легком стержне, если к середине стержня прикрепить горизонтальную пружину жесткости $k$? На рисунке изображено состояние равновесия.		$3.2.20.$ Как изменится частота колебаний маятника, представляющего собой груз на легком стержне, если к середине стержня прикрепить горизонтальную пружину жесткости $k$? На рисунке изображено состояние равновесия.

	![К задаче $3.2.20$\|302x345, 20%](../../img/3.2.20/3.2.20.png)		![К задаче $3.2.20$\|302x345, 20%](../../img/3.2.20/3.2.20.png)

	### Решение:		### Решение:

	Частота $ \omega $ связана с параметрами системы уравнением:		Частота $ \omega $ связана с параметрами системы уравнением:

	$$\omega =\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$$		$$\omega =\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$$

	где $ \alpha $ — коэффициент, связанный с потенциальной энергией, а $ \beta $ — коэффициент, связанный с кинетической энергией.		где $ \alpha $ — коэффициент, связанный с потенциальной энергией, а $ \beta $ — коэффициент, связанный с кинетической энергией.
	@@ -14,10 +14,8 @@Решение:

	Кинетическая энергия колеблющейся массы записывается как:		Кинетическая энергия колеблющейся массы записывается как:

	$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}\Rightarrow \beta =~~\frac{m}{2}~~$$		$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}\Rightarrow \beta = 1$$

	---

	Потенциальная энергия $ E_p $ складывается из двух частей:		Потенциальная энергия $ E_p $ складывается из двух частей:

	1. Энергия, связанная с маятником ($ E_p^{(1)} $):		1. Энергия, связанная с маятником ($ E_p^{(1)} $):
	\[		\[
	E_p^{(1)} = mgl(1 - \cos\varphi).		E_p^{(1)} = mgl(1 - \cos\varphi).
	\]		\]
	При малых углах $ \varphi $ справедливо приближение $ \cos\varphi \approx 1 - \frac{\varphi^2}{2} $, поэтому:		При малых углах $ \varphi $ справедливо приближение $ \cos\varphi \approx 1 - \frac{\varphi^2}{2} $, поэтому:
	\[		\[
	E_p^{(1)} \approx \frac{1}{2} mgl \varphi^2.		E_p^{(1)} \approx \frac{1}{2} mgl \varphi^2.
	\]		\]

	2. Энергия, связанная с растяжением пружины ($ E_p^{(2)} $):		2. Энергия, связанная с растяжением пружины ($ E_p^{(2)} $):
	Если маятник отклоняется на угол $ \varphi $, горизонтальное смещение точки крепления пружины к середине стержня составляет $ x = \frac{l}{2} \varphi $. Потенциальная энергия пружины:		Если маятник отклоняется на угол $ \varphi $, горизонтальное смещение точки крепления пружины к середине стержня составляет $ x = \frac{l}{2} \varphi $. Потенциальная энергия пружины:
	\[		\[
	E_p^{(2)} = \frac{1}{2} k \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} k \left(\frac{l \varphi}{2}\right)^2.		E_p^{(2)} = \frac{1}{2} k \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} k \left(\frac{l \varphi}{2}\right)^2.
	\]		\]

	Суммарная потенциальная энергия:		Суммарная потенциальная энергия:

	\[		\[
	E_p = E_p^{(1)} + E_p^{(2)} = \frac{1}{2} mgl \varphi^2 + \frac{1}{8} k l^2 \varphi^2.		E_p = E_p^{(1)} + E_p^{(2)} = \frac{1}{2} mgl \varphi^2 + \frac{1}{8} k l^2 \varphi^2.
	\]		\]
	@@ -43,26 +41,17 @@Решение:

	Сравнивая $ E_p $ с выражением $ E_p = \frac{\alpha}{2} \varphi^2 $, получаем:		Сравнивая $ E_p $ с выражением $ E_p = \frac{\alpha}{2} \varphi^2 $, получаем:
	\[		\[
	\alpha = \frac{mg}{l} + \frac{k}{4}.		\alpha = \frac{g}{l} + \frac{k}{4m}.
	\]		\]

	---		Подставляем $ \alpha $ и $ \beta $ в формулу для частоты:

	~~$$E_p=mgl(1-\cos\varphi)+\frac{k(x/2)^2}{2}$$~~		\[
			\omega^2 = \frac{g}{l} + \frac{k}{4m}.
			\]

	$$=\frac{mgl\varphi^2}{2}+\frac{kx^2}{8}$$

	$$=\frac{mgl}{2}\frac{x^2}{l^2}+\frac{kx^2}{8}$$

	$$=x^2(\frac{mg}{2l}+\frac{k}{8})$$

	$$\Rightarrow \alpha=\frac{mg}{2l}+\frac{k}{8}$$

	$$\omega^2=\frac{g}{l}+\frac{k}{4m}$$


	### Альтернативное решение:		### Альтернативное решение:

	![\|758x866, 67%](../../img/3.2.20/01.jpg)		![\|758x866, 67%](../../img/3.2.20/01.jpg)

	### Ответ: $\omega^2=\frac{g}{l}+\frac{k}{4m}$.		#### Ответ: $\omega^2=\frac{g}{l}+\frac{k}{4m}$.