Edit to “Решение”
ru/8.2.14.md
+4 −10
| ### Условие: | |||
| $8.2.14.$ Из металлов с удельной проводимостью $λ_1$ и $λ_2$ изготовили длинные стержни и соединили их так, как показано на рисунке. На крайних торцах поддерживается разность потенциалов $V$. Определите сопротивление соединенных стержней и токи в них. | |||
|  | |||
| ### Решение: | |||
| По-определению удельное сопротивление: | |||
| $$\rho = \frac{1}{\lambda}$$ | |||
| Сопротивление | |||
| $$R = \rho\frac{l}{S}=\frac{l}{\lambda S}=\frac{1}{\lambda} \cdot \frac{l}{\pi r^2}\tag{1}$$ | |||
| Для случая $\mathrm{II}$: | |||
| $$R_\mathrm{II}=R_{r_1}+R_{r_2}$$ | |||
| Из $(1)$: | |||
| $$R_{r_1}=\frac{1}{\lambda_1 } \cdot \frac{l_1}{\pi r_1^2};$$ | |||
| $$\;R_{r_2}=\frac{1}{\lambda_2 } \cdot \frac{l_2}{\pi r_2^2}$$ | |||
| Тогда | |||
| @@ -28,22 +28,16 @@Решение: | |||
| $$R_\mathrm{II} = \frac{1}{\pi}\left(\frac{l_1}{r_1^2\lambda_1}+\frac{l_2}{r_2^2\lambda_2}\right)\tag{2}$$ | |||
| − | Случай $\mathrm{II}$ более общий случай случая $\mathrm{I}$: | ||
| + | Случай $\mathrm{II}$ более общий случай случая $\mathrm{I}$ при ($r=r_1=r_2$ и $l=l_1=l_2$): | ||
| $$R_\mathrm{II}=R_{r_1}+R_{r_2}$$ | |||
| − | $$r_1=r_2=r$$ | ||
| + | Уравнение $(2)$ для данного случая: | ||
| − | $$l_1=l_2=l$$ | ||
| + | $$R_\mathrm{I}=\frac{l}{\pi r^2}\left(\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}\right)$$ | ||
| − | Формула $(2)$ для данного случая: | ||
| − | |||
| − | $$R_\mathrm{I}=\frac{1}{\pi}\left(\frac{l_1}{r_1^2\lambda_1}+\frac{l_2}{r_2^2\lambda_2}\right)=\frac{l}{\pi r^2}\left(\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}\right)$$ | ||
| − | |||
| Из закона Ома: | |||
| − | $$I_\mathrm{I}= | ||
| − | |||
| − | $$I_\mathrm{II}=v/R_\mathrm{II}$$ | ||
| + | $$I_\mathrm{I}=V/R_\mathrm{I}; ~I_\mathrm{II}=V/R_\mathrm{II}$$ | ||
| #### Ответ: $R_\mathrm{I} = \frac{l}{\pi r^2}\left(\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}\right)$, $ R_\mathrm{II} = \frac{1}{\pi}\left(\frac{l_1}{r_1^2\lambda_1}+\frac{l_2}{r_2^2\lambda_2}\right){;}$ $I_\mathrm{I} = V/R_1,$ $I_\mathrm{II} = V/R_\mathrm{II}$ при $|r_2-r_1|\ll l_1,l_2.$ | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $8.2.14.$ Из металлов с удельной проводимостью $λ_1$ и $λ_2$ изготовили длинные стержни и соединили их так, как показано на рисунке. На крайних торцах поддерживается разность потенциалов $V$. Определите сопротивление соединенных стержней и токи в них. | $8.2.14.$ Из металлов с удельной проводимостью $λ_1$ и $λ_2$ изготовили длинные стержни и соединили их так, как показано на рисунке. На крайних торцах поддерживается разность потенциалов $V$. Определите сопротивление соединенных стержней и токи в них. | ||
|  |  | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| По-определению удельное сопротивление: | По-определению удельное сопротивление: | ||
| $$\rho = \frac{1}{\lambda}$$ | $$\rho = \frac{1}{\lambda}$$ | ||
| Сопротивление | Сопротивление | ||
| $$R = \rho\frac{l}{S}=\frac{l}{\lambda S}=\frac{1}{\lambda} \cdot \frac{l}{\pi r^2}\tag{1}$$ | $$R = \rho\frac{l}{S}=\frac{l}{\lambda S}=\frac{1}{\lambda} \cdot \frac{l}{\pi r^2}\tag{1}$$ | ||
| Для случая $\mathrm{II}$: | Для случая $\mathrm{II}$: | ||
| $$R_\mathrm{II}=R_{r_1}+R_{r_2}$$ | $$R_\mathrm{II}=R_{r_1}+R_{r_2}$$ | ||
| Из $(1)$: | Из $(1)$: | ||
| $$R_{r_1}=\frac{1}{\lambda_1 } \cdot \frac{l_1}{\pi r_1^2};$$ | $$R_{r_1}=\frac{1}{\lambda_1 } \cdot \frac{l_1}{\pi r_1^2};$$ | ||
| $$\;R_{r_2}=\frac{1}{\lambda_2 } \cdot \frac{l_2}{\pi r_2^2}$$ | $$\;R_{r_2}=\frac{1}{\lambda_2 } \cdot \frac{l_2}{\pi r_2^2}$$ | ||
| Тогда | Тогда | ||
| @@ -28,22 +28,16 @@Решение: | |||
| $$R_\mathrm{II} = \frac{1}{\pi}\left(\frac{l_1}{r_1^2\lambda_1}+\frac{l_2}{r_2^2\lambda_2}\right)\tag{2}$$ | $$R_\mathrm{II} = \frac{1}{\pi}\left(\frac{l_1}{r_1^2\lambda_1}+\frac{l_2}{r_2^2\lambda_2}\right)\tag{2}$$ | ||
| Случай $\mathrm{II}$ более общий случай случая $\mathrm{I}$: | Случай $\mathrm{II}$ более общий случай случая $\mathrm{I}$ при ($r=r_1=r_2$ и $l=l_1=l_2$): | ||
| $$R_\mathrm{II}=R_{r_1}+R_{r_2}$$ | $$R_\mathrm{II}=R_{r_1}+R_{r_2}$$ | ||
| $$r_1=r_2=r$$ | Уравнение $(2)$ для данного случая: | ||
| $$l_1=l_2=l$$ | $$R_\mathrm{I}=\frac{l}{\pi r^2}\left(\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}\right)$$ | ||
| Формула $(2)$ для данного случая: | |||
| $$R_\mathrm{I}=\frac{1}{\pi}\left(\frac{l_1}{r_1^2\lambda_1}+\frac{l_2}{r_2^2\lambda_2}\right)=\frac{l}{\pi r^2}\left(\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}\right)$$ | |||
| Из закона Ома: | Из закона Ома: | ||
| $$I_\mathrm{I}= |
$$I_\mathrm{I}=V/R_\mathrm{I}; ~I_\mathrm{II}=V/R_\mathrm{II}$$ | ||
| $$I_\mathrm{II}=v/R_\mathrm{II}$$ | |||
| #### Ответ: $R_\mathrm{I} = \frac{l}{\pi r^2}\left(\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}\right)$, $ R_\mathrm{II} = \frac{1}{\pi}\left(\frac{l_1}{r_1^2\lambda_1}+\frac{l_2}{r_2^2\lambda_2}\right){;}$ $I_\mathrm{I} = V/R_1,$ $I_\mathrm{II} = V/R_\mathrm{II}$ при $|r_2-r_1|\ll l_1,l_2.$ | #### Ответ: $R_\mathrm{I} = \frac{l}{\pi r^2}\left(\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}\right)$, $ R_\mathrm{II} = \frac{1}{\pi}\left(\frac{l_1}{r_1^2\lambda_1}+\frac{l_2}{r_2^2\lambda_2}\right){;}$ $I_\mathrm{I} = V/R_1,$ $I_\mathrm{II} = V/R_\mathrm{II}$ при $|r_2-r_1|\ll l_1,l_2.$ | ||