Решение

Выражение плотности тока:

$$j=\frac{I}{S}\tag{1}$$

По-определению, сила тока:

$$I=\frac{dQ}{dt}\tag{2}$$

Подставим это в выражение для $j$:

$$I=\frac{dQ}{S \cdot dt}\tag{3}$$

где $I$ — ток, $S$ — площадь поперечного сечения пучка.

Отсюда получаем:

$$dQ=jS \cdot dt\tag{4}$$

Определим плотность заряда $\rho$ через отношение заряда $dQ$ к элементарному объему $dV$:

$$\rho =\frac{dQ}{dV}\tag{5}$$

Скорость электронов $v$ выражается через пройденное расстояние $dx$ за время $dt$:

$$v=\frac{dx}{dt}\Rightarrow dx=v \, dt\tag{6}$$

Элементарный объем $dV$ в пучке определяется как:

$$dV = dx \cdot S \tag{7}$$

Подставим $dx$ из $(6)$ в $(7)$:

$$\;dV=vS \, dt\tag{8}$$

Подставляем выражения из $(4)$ и $(8)$ во $(6)$:

$$\rho =\frac{dQ}{dV}=\frac{jS \, dt}{vS \, dt}=\frac{j}{v}$$