Edit to “Решение”
ru/9.1.8.md
+3 −3
| ### Условие | |||
| $9.1.8^*.$ В однородном магнитном поле индукции $B$ находится квадратная рамка с током. Масса рамки $m$, ток в ней $I$. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси $OO^\prime$ | |||
|  | |||
| ### Решение | |||
| Рассмотрим малое отклонение от равновесия на угол $\alpha$: | |||
| Момент действующий на рамку со стороны магнитного поля: $$M = BIS\cdot \sin\alpha = BIa^2 \sin\alpha$$ где $a$ — сторона рамки | |||
| @@ -12,12 +12,12 @@Решение | |||
| сила тяжести не создает момента так как проходит через точку вращения | |||
| − | Из основного уравнения вращательного движения: $$J\ddot{\alpha} = \sum\pm{M_i}$$ для нашего случая: $$J\ddot{\alpha} = -BIa^2 \sin\alpha | ||
| + | Из основного уравнения вращательного движения: $$J\ddot{\alpha} = \sum\pm{M_i}$$ для нашего случая: $$J\ddot{\alpha} = -BIa^2 \sin\alpha\tag{1}$$ теперь найдём момент инерции $J$ рамки при наблюдаемых колебаниях | ||
| − | Момент инерции верхней и нижней стороны рамки составляет $$J_1=J_2 = \frac{m}{4}\cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{m a^2}{16} | ||
| + | Момент инерции верхней и нижней стороны рамки составляет $$J_1=J_2 = \frac{m}{4}\cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{m a^2}{16}\tag{2}$$ где $a/2$ — расстояние до этой стороны. | ||
| − | Момент инерции боковых сторон: $$J_3 = J_4 = \frac{1}{12} \cdot \frac{m}{4}\cdot a^2 = \frac{m a^2}{48} | ||
| + | Момент инерции боковых сторон: $$J_3 = J_4 = \frac{1}{12} \cdot \frac{m}{4}\cdot a^2 = \frac{m a^2}{48}\tag{3}$$ Находим момент инерции $J$, подставляя $(2)$ и $(3)$ $$J = J_1 + J_2 + J_3 + J_4 $$ $$J = 2\cdot \frac{m a^2}{16} + 2 \cdot \frac{m a^2}{48} = \frac{m a^2}{6}$$ тогда уравнение $(1)$ будет иметь вид: $$\frac{m a^2}{6}\ddot{\alpha} = -BIa^2 \sin\alpha$$ $$\ddot{\alpha} = -\frac{6BI}{m} \alpha (t)$$ Решая уравнение гармонических колебаний, находим укловую частоту $$\boxed{\omega = \sqrt{\frac{6BI}{m}}}$$ | ||
| #### Ответ | |||
| $$\omega = \sqrt{\frac{6BI}{m}}$$ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $9.1.8^*.$ В однородном магнитном поле индукции $B$ находится квадратная рамка с током. Масса рамки $m$, ток в ней $I$. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси $OO^\prime$ | $9.1.8^*.$ В однородном магнитном поле индукции $B$ находится квадратная рамка с током. Масса рамки $m$, ток в ней $I$. Определите частоту свободных колебаний рамки вокруг оси $OO^\prime$ | ||
|  |  | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Рассмотрим малое отклонение от равновесия на угол $\alpha$: | Рассмотрим малое отклонение от равновесия на угол $\alpha$: | ||
| Момент действующий на рамку со стороны магнитного поля: $$M = BIS\cdot \sin\alpha = BIa^2 \sin\alpha$$ где $a$ — сторона рамки | Момент действующий на рамку со стороны магнитного поля: $$M = BIS\cdot \sin\alpha = BIa^2 \sin\alpha$$ где $a$ — сторона рамки | ||
| @@ -12,12 +12,12 @@Решение | |||
| сила тяжести не создает момента так как проходит через точку вращения | сила тяжести не создает момента так как проходит через точку вращения | ||
| Из основного уравнения вращательного движения: $$J\ddot{\alpha} = \sum\pm{M_i}$$ для нашего случая: $$J\ddot{\alpha} = -BIa^2 \sin\alpha |
Из основного уравнения вращательного движения: $$J\ddot{\alpha} = \sum\pm{M_i}$$ для нашего случая: $$J\ddot{\alpha} = -BIa^2 \sin\alpha\tag{1}$$ теперь найдём момент инерции $J$ рамки при наблюдаемых колебаниях | ||
| Момент инерции верхней и нижней стороны рамки составляет $$J_1=J_2 = \frac{m}{4}\cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{m a^2}{16} |
Момент инерции верхней и нижней стороны рамки составляет $$J_1=J_2 = \frac{m}{4}\cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{m a^2}{16}\tag{2}$$ где $a/2$ — расстояние до этой стороны. | ||
| Момент инерции боковых сторон: $$J_3 = J_4 = \frac{1}{12} \cdot \frac{m}{4}\cdot a^2 = \frac{m a^2}{48} |
Момент инерции боковых сторон: $$J_3 = J_4 = \frac{1}{12} \cdot \frac{m}{4}\cdot a^2 = \frac{m a^2}{48}\tag{3}$$ Находим момент инерции $J$, подставляя $(2)$ и $(3)$ $$J = J_1 + J_2 + J_3 + J_4 $$ $$J = 2\cdot \frac{m a^2}{16} + 2 \cdot \frac{m a^2}{48} = \frac{m a^2}{6}$$ тогда уравнение $(1)$ будет иметь вид: $$\frac{m a^2}{6}\ddot{\alpha} = -BIa^2 \sin\alpha$$ $$\ddot{\alpha} = -\frac{6BI}{m} \alpha (t)$$ Решая уравнение гармонических колебаний, находим укловую частоту $$\boxed{\omega = \sqrt{\frac{6BI}{m}}}$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$\omega = \sqrt{\frac{6BI}{m}}$$ | $$\omega = \sqrt{\frac{6BI}{m}}$$ | ||