Решение

На брусок действует постоянная сила трения скольжение $\vec{F}_{тр}$, которую найдём из закона Амантона-Ньютона

$$\vec{F}_{тр}=\mu\vec{N} \tag{1}$$

$$\vec{F}_{тр}=\mu m\vec{g} \tag{2}$$

Из закона сохранения механической энергии:

$$F_{тр} x = \frac{mv_0^2}{2}-\frac{mv^2}{2} \tag{3}$$

Подставление значение для силы трения $F_{тр}$ из $(2)$

$$\mu m g x = \frac{mv_0^2}{2}-\frac{mv^2}{2} \tag{4}$$

Сокращяем на массу бруска $m$

$$\mu g x = \frac{v_0^2}{2}-\frac{v^2}{2} \tag{5}$$

Выражаем скорость бруска

$$v = \sqrt{v_0^2-2\mu g x} \tag{6}$$

Где $v_0$ – начальная скорость бруска

Брусок остановится если $v=0$:

$$\sqrt{v_0^2-2\mu g x} = 0 \tag{7}$$

Из области определения функции

$$v_0^2-2\mu g x \geq 0\Rightarrow \boxed{v_0\geq\sqrt{2\mu g x}}$$

Решая уравнение $(7)$, получаем

$$v_0^2=2\mu g x \tag{8}$$

Т.е. тело остановится на расстоянии $x$:

$$x=\frac{v_0^2}{2\mu g } \tag{9}$$

Условия прохождение полосы:

$$x\geq L;\quad \frac{v_0^2}{2\mu g } \geq L;\quad v_0 \geq \sqrt{2\mu gL}$$