| @@ -1,8 +1,8 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $8.3.42^*.$ В термостат нужно подводить тепло с постоянной скоростью. Во время опыта в нем изменяется температура, что вызывает изменение сопротивления нагревательной спирали. Нужно, чтобы выделяемая на сопротивлении спирали $r$ мощность почти не менялась при малых изменениях $r$. Постройте график зависимости мощности от $r$ и определите, используя этот график, при каком соотношении $R$ и $r$ достигается желаемая нечувствительность мощности к изменению $r$. |
| $8.3.42^*.$ В термостат нужно подводить тепло с постоянной скоростью. Во время опыта в нем изменяется температура, что вызывает изменение сопротивления нагревательной спирали. Нужно, чтобы выделяемая на сопротивлении спирали $r$ мощность почти не менялась при малых изменениях $r$. Постройте график зависимости мощности от $r$ и определите, используя этот график, при каком соотношении $R$ и $r$ достигается желаемая нечувствительность мощности к изменению $r$. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Сила тока в цепи: | | Сила тока в цепи: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}\tag{1} | | I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Мощность выделяемая на сопротивлении спирали $r$ | | Мощность выделяемая на сопротивлении спирали $r$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| P = I^2r = \frac{\mathcal{E}^2r}{(R+r)^2}\tag{2} | | P = I^2r = \frac{\mathcal{E}^2r}{(R+r)^2}\tag{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Введём безмерную относительную величину $\xi$: | | Введём безмерную относительную величину $\xi$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \xi = \frac{r}{R} \Rightarrow r = \xi R\tag{3} | | \xi = \frac{r}{R} \Rightarrow r = \xi R\tag{3} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Учитывая безразмерный коэффицент, перепишем уравнение для выделяющуейся мощности $(2)$ | | Учитывая безразмерный коэффицент, перепишем уравнение для выделяющуейся мощности $(2)$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| P = P_0 \cdot \frac{\xi}{(1+\xi)^2}\tag{4} | | P = P_0 \cdot \frac{\xi}{(1+\xi)^2}\tag{4} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $P_0=\frac{\mathcal{E}^2}{R}$ | | где $P_0=\frac{\mathcal{E}^2}{R}$ |
| | | |
| Чтобы удовлетворить условие необходимо, чтобы касательная к графику в данной точке имелла наименьший угол наклона к горизонтале. В этом случае выделяемая на сопротивлении спирали $r$ мощность почти не изменяется при малых изменениях $r$. | | Чтобы удовлетворить условие необходимо, чтобы касательная к графику в данной точке имелла наименьший угол наклона к горизонтале. В этом случае выделяемая на сопротивлении спирали $r$ мощность почти не изменяется при малых изменениях $r$. |
| | | |
| Из графика полученной зависимости $(4)$ получаем, что касательная располагается горизонтально в точке локального максимума при $\xi = 1$, так называемое явление резонанса. Из $(3)$ получается, что искомое соотношении определяется как | | Из графика полученной зависимости $(4)$ получаем, что касательная располагается горизонтально в точке локального максимума при $\xi = 1$, так называемое явление резонанса. Из $(3)$ получается, что искомое соотношении определяется как |
| | | |
| $$ | | $$ |
| r = R | | r = R |
| $$ | | $$ |
| | | |
| #### Ответ: При $r = R$ | | #### Ответ: При $r = R$ |
