Edits to “Решение”, “Ответ”

astrosander edited
View solution History
revision #12379 parent #11043 ← older newer →
ru/8.3.45.md +52 −2
@@ -4,6 +4,56 @@Условие:
### Решение:
−$U=const$ $i=\frac{U}{R}$$=\frac{US}{\rho l}$$=\frac{\lambda US}{l}$ Емкость сферического конденсатора: $С=4 \pi\varepsilon \varepsilon_0 \cdot \frac{R_1 R_2}{R_1 - R_2}$$\approx 4 \pi\varepsilon_0 \cdot \frac{R^2}{l}$$\approx \frac{\varepsilon_0 S}{l}$ $Q=iU=\frac{\lambda U^2 S}{l}$$=\frac{\lambda U^2 C}{\varepsilon_0}$
−### Ответ: $Q=\frac{\lambda U^2 C}{\varepsilon_0}$
+Поскольку в диэлектрике присутствует утечка из-за проводимости, ток через конденсатор выражается как:
+
+Учитывая, что сопротивление слоя проводящей среды между обкладками конденсатора \( R = \frac{\rho l}{S} = \frac{1}{\lambda} \cdot \frac{l}{S} \), ток можно записать как:
+
+$$
+i = \frac{\lambda U S}{l},\tag{1}
+$$
+
+Емкость сферического конденсатора с радиусами \( R_1 \) и \( R_2 \) обкладок равна:
+
+$$
+C = 4 \pi \varepsilon \varepsilon_0 \cdot \frac{R_1 R_2}{R_1 - R_2}.\tag{2}
+$$
+
+При \( \varepsilon \approx 1 \) и \( R_1 \approx R_2 \), разность радиусов \( l = R_1 - R_2 \) мала, а радиусы \( R_1 \approx R_2 \approx R \). Тогда емкость можно аппроксимировать как:
+
+\[
+C \approx 4 \pi \varepsilon_0 \cdot \frac{R^2}{l}.\tag{3}
+\]
+
+
+Площадь обкладок сферического конденсатора \( S \) равна площади сферы:
+
+\[
+S = 4 \pi R^2.\tag{4}
+\]
+
+Тогда емкость становится:
+
+\[
+C \approx \frac{\varepsilon_0 S}{l}.\tag{5}
+\]
+
+Из закона Джоуля — Ленца, количество теплоты, выделяющееся за единицу времени
+
+\[
+Q = i U.\tag{6}
+\]
+
+Подставляя выражение для тока $(1)$, получим:
+
+\[
+Q = \frac{\lambda U^2 S}{l}.\tag{7}
+\]
+
+Площадь обкладок сферического конденсатора $S$ выразим из уравнения $(5)$ и получим искомое количество теплоты, выделяющейся в единицу времени на конденсаторе
+
+\[
+Q = \frac{\lambda U^2 C}{\varepsilon_0}.\tag{8}
+\]
+
+#### Ответ: $Q=\frac{\lambda U^2 C}{\varepsilon_0}$