Edit to “Решение”

astrosander edited
View solution History
revision #12537 parent #11948 ← older
ru/11.1.5.md +13 −13
@@ -7,75 +7,75 @@Решение:
Ионы начнут разрушаться, когда сила Лоренца станет больше силы связи
$$
−F_\text{lorentz} \geq F_\text{connection} \quad(1)
+F_\text{lorentz} \geq F_\text{connection} \tag{1}
$$
Так как частицей является отрицательный ион водорода $H^−$, то заряд будет равняться заряду электрона $(q=e)$ при этом сила Лоренца, действующая на частицу массой $m$ в магнитном поле индукции $\vec{B}$ составит
$$
−F_\text{lorentz} = eBv\quad(2)
+F_\text{lorentz} = eBv\tag{2}
$$
Из условия, энергия связи внешнего электрона в отрицательном ионе водорода составляет
$$
−A_\text{total}=0.72 \,эВ \quad(3)
+A_\text{total}=0.72 \,эВ \tag{3}
$$
При этом потенциальная энергия взаимодействия электрона с протоном (ядром водорода) имеет вид:
$$
−U_\text{potential}(r) = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r},\quad(4)
+U_\text{potential}(r) = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r},\tag{4}
$$
Полная энергия электрона в связном состоянии может быть выражена через радиус в первой боровской модели как:
$$
−A_\text{total} = -\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}. \quad(5)
+A_\text{total} = -\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}. \tag{5}
$$
Здесь важно отметить коэффициент \(1/2\), который появляется в результате квантово-механического решения задачи для атома водорода (в основном состоянии суммарная энергия равна половине потенциальной, но с отрицательным знаком).
Из полученного уравнения $(5)$, выражаем $r$ по модулю
$$
−r = \frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 A_\text{total}}\quad(6)
+r = \frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 A_\text{total}}\tag{6}
$$
Сила, с которой ядро действует на электрон (кулоновская сила), определяется выражением:
$$
−F_\text{connection} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.\quad(7)
+F_\text{connection} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.\tag{7}
$$
Подставляя в $(7)$ характерный радиус взаимодействия $r$, полученный в $(6)$, получаем кулоновскую силу
$$
−F_\text{connection} = \frac{16\pi\varepsilon_0 }{e^2}\cdot A_\text{total}^2\quad(8)
+F_\text{connection} = \frac{16\pi\varepsilon_0 }{e^2}\cdot A_\text{total}^2\tag{8}
$$
Рассмотрим граничный случай, описанный неравенством $(1)$, приравняв уравнение силы Лоренца $(2)$ и кулоновскую силу $(8)$:
$$
−eBv=\frac{16\pi\varepsilon_0 }{e^2}\cdot A_\text{total}^2\quad(9)
+eBv=\frac{16\pi\varepsilon_0 }{e^2}\cdot A_\text{total}^2\tag{9}
$$
Откуда, скорость иона в данный момент времени составляет
$$
−v=\frac{16\pi\varepsilon_0 }{e^3B}\cdot A_\text{total}^2\quad(10)
+v=\frac{16\pi\varepsilon_0 }{e^3B}\cdot A_\text{total}^2\tag{10}
$$
Перед тем как зайти в магнитное поле, частица ускорявлась в электрическом поле с разностью потенциалов $\Delta\varphi$ и в момент входа в поперечное магнитное поле имела энергию, равную кинетической энергии иона
$$
−E_\text{kinetic} = e\cdot\Delta\varphi = \frac{mv^2}{2}\quad(11)
+E_\text{kinetic} = e\cdot\Delta\varphi = \frac{mv^2}{2}\tag{11}
$$
Откуда, выражаем критическую разность потенциалов электрического поля
$$
−\Delta\varphi=\frac{mv^2}{2e}\quad(12)
+\Delta\varphi=\frac{mv^2}{2e}\tag{12}
$$
Подставляя выражение скорости иона из $(10)$, получаем необходимые значения для разности потенциалов
@@ -86,8 +86,8 @@Решение:
$$
\Delta\varphi > \frac{128\pi^2\varepsilon_0^2}{e^7}\cdot \frac{A_\text{total}^4~m}{B^2}
−\quad(13)
+\tag{13}
$$
#### Ответ: $\Delta\varphi < 7 \,МВ$