Edit to “Условие”
ru/3.2.34.md
+1 −1
| @@ -1,8 +1,8 @@ | |||
| ### Условие: | |||
| $3.2.34.$ Вертикальная перегородка в высоком сосуде разделяет его на две сообщающиеся части с разными сечениями. Найдите период малых колебаний жидкости, считая, что свободная поверхность ее в каждой части сосуда остается горизонтальной. Глубина жидкости в состоянии равновесия равна $H$. | |||
| − |  | ||
| ### Решение: | |||
| Период малых колебаний можно записать как: | |||
| $$ | |||
| T=2\pi\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}\tag{1} | |||
| $$ | |||
| где \( \alpha \) — коэффициент, связанный с потенциальной энергией, \( \beta \) — коэффициент, связанный с кинетической энергией. | |||
| $$ | |||
| E_k=\frac{m(\dot{x})^2}{2}+\frac{M(\dot{x}')^2}{2}\tag{2} | |||
| $$ | |||
| где \( x \) — смещение уровня жидкости в одной из частей сосуда, \( x' \) — смещение уровня жидкости в другой части сосуда. | |||
| Условие несжимаемости жидкости | |||
| $$ | |||
| S_1x=S_2x'\Rightarrow x'=\frac{S_1x}{S_2}\tag{3} | |||
| $$ | |||
| Тогда кинетическая энергия | |||
| $$ | |||
| E_k=\frac{\rho HS_1(S_1+S_2)}{2S_2}(\dot{x}^2)\tag{4} | |||
| $$ | |||
| Отсюда коэффициент, связанный с кинетической энергией | |||
| $$ | |||
| \beta =\fbox{$\frac{\rho HS_1(S_1+S_2)}{2S_2}$}\tag{5} | |||
| $$ | |||
| Потенциальная энергия связана с изменением положения центра масс жидкости: | |||
| $$ | |||
| E_p=mg\frac{x}{2}+MG\frac{x'}{2}\tag{5} | |||
| $$ | |||
| где: | |||
| $$ | |||
| m = \rho H S_1, \quad M = \rho H S_2.\tag{6} | |||
| $$ | |||
| подставляем в $(5)$ | |||
| $$ | |||
| E_p=\frac{\rho gS_1x^2}{2}+\frac{S_1}{S_2}\rho gS_2\frac{x^2}{2}\tag{7} | |||
| $$ | |||
| Отсюда: | |||
| $$ | |||
| \alpha =\fbox{$\frac{\rho gS_1(S_1+S_2)}{2S_2}$}\tag{8} | |||
| $$ | |||
| Подставляя найденные значения \( \alpha \) и \( \beta \) в уравнение периода $(1)$, получаем: | |||
| $$ | |||
| T=2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}\tag{9} | |||
| $$ | |||
| #### Ответ: $T=2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}$. | |||
| unchanged lines 63 | |||
| @@ -1,8 +1,8 @@ | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $3.2.34.$ Вертикальная перегородка в высоком сосуде разделяет его на две сообщающиеся части с разными сечениями. Найдите период малых колебаний жидкости, считая, что свободная поверхность ее в каждой части сосуда остается горизонтальной. Глубина жидкости в состоянии равновесия равна $H$. | $3.2.34.$ Вертикальная перегородка в высоком сосуде разделяет его на две сообщающиеся части с разными сечениями. Найдите период малых колебаний жидкости, считая, что свободная поверхность ее в каждой части сосуда остается горизонтальной. Глубина жидкости в состоянии равновесия равна $H$. | ||
|  | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
| Период малых колебаний можно записать как: | Период малых колебаний можно записать как: | ||
| $$ | $$ | ||
| T=2\pi\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}\tag{1} | T=2\pi\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}\tag{1} | ||
| $$ | $$ | ||
| где \( \alpha \) — коэффициент, связанный с потенциальной энергией, \( \beta \) — коэффициент, связанный с кинетической энергией. | где \( \alpha \) — коэффициент, связанный с потенциальной энергией, \( \beta \) — коэффициент, связанный с кинетической энергией. | ||
| $$ | $$ | ||
| E_k=\frac{m(\dot{x})^2}{2}+\frac{M(\dot{x}')^2}{2}\tag{2} | E_k=\frac{m(\dot{x})^2}{2}+\frac{M(\dot{x}')^2}{2}\tag{2} | ||
| $$ | $$ | ||
| где \( x \) — смещение уровня жидкости в одной из частей сосуда, \( x' \) — смещение уровня жидкости в другой части сосуда. | где \( x \) — смещение уровня жидкости в одной из частей сосуда, \( x' \) — смещение уровня жидкости в другой части сосуда. | ||
| Условие несжимаемости жидкости | Условие несжимаемости жидкости | ||
| $$ | $$ | ||
| S_1x=S_2x'\Rightarrow x'=\frac{S_1x}{S_2}\tag{3} | S_1x=S_2x'\Rightarrow x'=\frac{S_1x}{S_2}\tag{3} | ||
| $$ | $$ | ||
| Тогда кинетическая энергия | Тогда кинетическая энергия | ||
| $$ | $$ | ||
| E_k=\frac{\rho HS_1(S_1+S_2)}{2S_2}(\dot{x}^2)\tag{4} | E_k=\frac{\rho HS_1(S_1+S_2)}{2S_2}(\dot{x}^2)\tag{4} | ||
| $$ | $$ | ||
| Отсюда коэффициент, связанный с кинетической энергией | Отсюда коэффициент, связанный с кинетической энергией | ||
| $$ | $$ | ||
| \beta =\fbox{$\frac{\rho HS_1(S_1+S_2)}{2S_2}$}\tag{5} | \beta =\fbox{$\frac{\rho HS_1(S_1+S_2)}{2S_2}$}\tag{5} | ||
| $$ | $$ | ||
| Потенциальная энергия связана с изменением положения центра масс жидкости: | Потенциальная энергия связана с изменением положения центра масс жидкости: | ||
| $$ | $$ | ||
| E_p=mg\frac{x}{2}+MG\frac{x'}{2}\tag{5} | E_p=mg\frac{x}{2}+MG\frac{x'}{2}\tag{5} | ||
| $$ | $$ | ||
| где: | где: | ||
| $$ | $$ | ||
| m = \rho H S_1, \quad M = \rho H S_2.\tag{6} | m = \rho H S_1, \quad M = \rho H S_2.\tag{6} | ||
| $$ | $$ | ||
| подставляем в $(5)$ | подставляем в $(5)$ | ||
| $$ | $$ | ||
| E_p=\frac{\rho gS_1x^2}{2}+\frac{S_1}{S_2}\rho gS_2\frac{x^2}{2}\tag{7} | E_p=\frac{\rho gS_1x^2}{2}+\frac{S_1}{S_2}\rho gS_2\frac{x^2}{2}\tag{7} | ||
| $$ | $$ | ||
| Отсюда: | Отсюда: | ||
| $$ | $$ | ||
| \alpha =\fbox{$\frac{\rho gS_1(S_1+S_2)}{2S_2}$}\tag{8} | \alpha =\fbox{$\frac{\rho gS_1(S_1+S_2)}{2S_2}$}\tag{8} | ||
| $$ | $$ | ||
| Подставляя найденные значения \( \alpha \) и \( \beta \) в уравнение периода $(1)$, получаем: | Подставляя найденные значения \( \alpha \) и \( \beta \) в уравнение периода $(1)$, получаем: | ||
| $$ | $$ | ||
| T=2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}\tag{9} | T=2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}\tag{9} | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Ответ: $T=2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}$. | #### Ответ: $T=2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}$. | ||
| unchanged lines 63 | |||