| В данной задаче используется два оснновных условия, для минимальной отдачи. Одна из них, это сохранение линейной скорости точек, за пределом точки удара, условно возьмем точку на свободном конце палки: | | В данной задаче используется два оснновных условия, для минимальной отдачи. Одна из них, это сохранение линейной скорости точек, за пределом точки удара, условно возьмем точку на свободном конце палки: |
| $$v_o=v$$ | | $$v_o=v$$ |
| $$\omega_0l=\omega (l-x)$$ | | $$\omega_0l=\omega (l-x)$$ |
| Где $x$ - расстояние от руки до точки удара. | | Где $x$ - расстояние от руки до точки удара. |
| | | |
| Найдем отношение угловых скоростей до и после удара: | | Найдем отношение угловых скоростей до и после удара: |
| $$\frac{\omega_0}{\omega}=\frac{l-x}{l}$$ | | $$\frac{\omega_0}{\omega}=\frac{l-x}{l}$$ |
| Второе условие для минимальной отдачи это сохранение момента импульса системы: | | Второе условие для минимальной отдачи это сохранение момента импульса системы: |
| $$I_0\omega_0=I\omega$$ | | $$I_0\omega_0=I\omega$$ |
| Разный момент инерции обусловлен новой точкой вращения. | | Разный момент инерции обусловлен новой точкой вращения. |
| | | |
| Подставим отношение скоростей: | | Подставим отношение скоростей: |
| $$\frac{I_0(l-x)}{l}=I$$ | | $$\frac{I_0(l-x)}{l}=I$$ |
| Момент инерции палки относительно одного из его концов(которуб держит рука): | | Момент инерции палки относительно одного из его концов(которуб держит рука): |
| $$I_0=\frac{ml^2}{3}$$ | | $$I_0=\frac{ml^2}{3}$$ |
| Новый момент инерции в момент удара, по теореме Штейнера: | | Новый момент инерции в момент удара, по теореме Штейнера: |
| $$I=\frac{ml^2}{12}+m(x-\frac{l}{2})^2\Rightarrow$$ | | $$I=\frac{ml^2}{12}+m(x-\frac{l}{2})^2\Rightarrow$$ |
| $$\Rightarrow I=\frac{ml^2}{3}-mxl+mx^2$$ | | $$\Rightarrow I=\frac{ml^2}{3}-mxl+mx^2$$ |
| Подставим их в закон сохранения момента импульса: | | Подставим их в закон сохранения момента импульса: |
| $$\frac{ml^2}{3}\frac{l-x}{l}=\frac{ml^2}{3}-mxl+mx^2$$ | | $$\frac{ml^2}{3}\frac{l-x}{l}=\frac{ml^2}{3}-mxl+mx^2$$ |
| Сократим массу: | | Сократим массу: |
| $$\frac{l^2-lx}{3}=\frac{l^2}{3}-lx+x^2$$ | | $$\frac{l^2-lx}{3}=\frac{l^2}{3}-lx+x^2$$ |
| Решаем уравнение: | | Решаем уравнение: |
| $$\frac{2lx}{3}=x^2$$ | | $$\frac{2lx}{3}=x^2$$ |
| Получаем ответ: | | Получаем ответ: |
| $$\boxed{x=\frac{2l}{3}}$$ | | $$\boxed{x=\frac{2l}{3}}$$ |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| При таком расстоянии от руки, отдача будет минимальна, то есть ее не будет. | | При таком расстоянии от руки, отдача будет минимальна, то есть ее не будет. |
| $$x=\frac{2l}{3}$$ | | $$x=\frac{2l}{3}$$ |