Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/3.5.15.md
+18 −28
| @@ -1,44 +1,34 @@ | |||
| − | ### | ||
| + | ### Условие | ||
| − | $3.5.15.$ [Insert problem description here] | ||
| + | $3.5.15.$ Пусть затухание достаточно слабое, так что осциллятор, выйдя из начального равновесного состояния со скоростью $v$, через время $T$ снова прохожит положение равновесия со скоростью $v/n$, $n>1$. Что можно сказать про скорость осциллятора через время $2T$, $3T$? | ||
| − | __Example Statement__: | ||
| − | $1.1.1.$ Determine the coordinate $x(t)$ of a body as a function of time $t$, given that its acceleration is defined as $a(t) = bt$, where $b$ is a constant. | ||
| − | ### Solution | ||
| − | [Your solution should be placed here] | ||
| + | ### Решение | ||
| − | __Example Solution__: | ||
| − | The acceleration of the body defined by | ||
| + | Зависимость координаты от времени в затухающем осцилляторе имеет вид: | ||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| + | $$x(t) = Ae^{-\gamma t}cos(\sqrt{\omega_{0}^2-\gamma^2}t+\phi)$$ | ||
| − | We know that acceleration is the time derivative of velocity: | ||
| + | Для удобства введём переобозначение $\omega = \sqrt{\omega_{0}^2-\gamma^2}$: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$x(t) = Ae^{-\gamma t}cos(\omega t+\phi)$$ | ||
| − | To find the velocity $v(t)$, we integrate $a(t)$ with respect to time: | ||
| + | Чтобы найти зависимость скорости от времени, продиффиренцируем зависимость $x(t)$ по времени: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$x'(t) = -Ae^{-\gamma t}[\gamma cos(\omega t+\phi)+ \omega sin(\omega t+\phi)]$$ | ||
| − | If the initial velocity is $v(0) = 0$, then the velocity becomes: | ||
| + | Выражение в квадратных скобках при подстановке $t = T, 2T, 3T...$ не меняется в силу периодичности тригонометрических функций | ||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| + | Заметим также, что множитель $Ae^{-\gamma t}$ при подстановке $t = T, 2T, 3T...kT$ с увеличением $k$ уменьшается в одно и тоже количество раз. Таким образом, модули скоростей через равные промежутки времени образуют убывающую геометрическую прогрессию с шагом $q = 1/n = e^{-\gamma T}$ | ||
| − | Likewise, integrate $v(t)$ with respect to time: | ||
| + | Т.е. если за время $T$ скорость упала в $n$ раз, то за время $2T$ скорость упадёт в $n^2$ раз и так далее. | ||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| + | #### Ответ | ||
| − | From where the coordinate from time, considering the initial conditions: | ||
| − | |||
| − | $$ | ||
| − | |||
| − | #### Answer | ||
| − | |||
| − | [Insert a concise answer or boxed result, like this:] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | __Example Answer__: | ||
| − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | ||
| + | $$v(0) = v_{0}$$ | ||
| + | $$v(T) = v_{0}/n$$ | ||
| + | $$v(2T) = v_{0}/n^2$$ | ||
| + | $$v(3T) = v_{0}/n^3$$ | ||
| + | и так далее | ||
| @@ -1,44 +1,34 @@ | |||
| ### |
### Условие | ||
| $3.5.15.$ [Insert problem description here] | $3.5.15.$ Пусть затухание достаточно слабое, так что осциллятор, выйдя из начального равновесного состояния со скоростью $v$, через время $T$ снова прохожит положение равновесия со скоростью $v/n$, $n>1$. Что можно сказать про скорость осциллятора через время $2T$, $3T$? | ||
| __Example Statement__: | |||
| $1.1.1.$ Determine the coordinate $x(t)$ of a body as a function of time $t$, given that its acceleration is defined as $a(t) = bt$, where $b$ is a constant. | |||
| ### Solution | |||
| [Your solution should be placed here] | ### Решение | ||
| __Example Solution__: | Зависимость координаты от времени в затухающем осцилляторе имеет вид: | ||
| The acceleration of the body defined by | |||
| $$a(t) = bt$$ | $$x(t) = Ae^{-\gamma t}cos(\sqrt{\omega_{0}^2-\gamma^2}t+\phi)$$ | ||
| We know that acceleration is the time derivative of velocity: | Для удобства введём переобозначение $\omega = \sqrt{\omega_{0}^2-\gamma^2}$: | ||
| $$ |
$$x(t) = Ae^{-\gamma t}cos(\omega t+\phi)$$ | ||
| To find the velocity $v(t)$, we integrate $a(t)$ with respect to time: | Чтобы найти зависимость скорости от времени, продиффиренцируем зависимость $x(t)$ по времени: | ||
| $$ |
$$x'(t) = -Ae^{-\gamma t}[\gamma cos(\omega t+\phi)+ \omega sin(\omega t+\phi)]$$ | ||
| If the initial velocity is $v(0) = 0$, then the velocity becomes: | Выражение в квадратных скобках при подстановке $t = T, 2T, 3T...$ не меняется в силу периодичности тригонометрических функций | ||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | Заметим также, что множитель $Ae^{-\gamma t}$ при подстановке $t = T, 2T, 3T...kT$ с увеличением $k$ уменьшается в одно и тоже количество раз. Таким образом, модули скоростей через равные промежутки времени образуют убывающую геометрическую прогрессию с шагом $q = 1/n = e^{-\gamma T}$ | ||
| Likewise, integrate $v(t)$ with respect to time: | Т.е. если за время $T$ скорость упала в $n$ раз, то за время $2T$ скорость упадёт в $n^2$ раз и так далее. | ||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | #### Ответ | ||
| From where the coordinate from time, considering the initial conditions: | $$v(0) = v_{0}$$ | ||
| $$v(T) = v_{0}/n$$ | |||
| $$ |
$$v(2T) = v_{0}/n^2$$ | ||
| $$v(3T) = v_{0}/n^3$$ | |||
| #### Answer | и так далее | ||
| [Insert a concise answer or boxed result, like this:] | |||
| __Example Answer__: | |||
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | |||