| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $7.4.19^*.$ Два заряда поместили на расстоянии $l$ друг от друга и отпустили. | | $7.4.19^*.$ Два заряда поместили на расстоянии $l$ друг от друга и отпустили. |
| Через время $t_0$ расстояние между зарядами удвоилось. Эти же заряды поместили | | Через время $t_0$ расстояние между зарядами удвоилось. Эти же заряды поместили |
| на расстоянии $3l$ и отпустили. Через какое время расстояние между зарядами | | на расстоянии $3l$ и отпустили. Через какое время расстояние между зарядами |
| удвоится? | | удвоится? |
| | | |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| Небольшое изменение кинетической энергии равно работе, совершённой кулоновской силой на небольшом перемещении: | | Небольшое изменение кинетической энергии равно работе, совершённой кулоновской силой на небольшом перемещении: |
| $$ | | $$ |
| dK = dA\space\space\space(1) | | dK = dA\space\space\space(1) |
| $$ | | $$ |
| Работа кулоновской силы равна: | | Работа кулоновской силы равна: |
| $$ | | $$ |
| dA = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_1q_2}{r^2}dr \space\space\space(2) | | dA = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_1q_2}{r^2}dr \space\space\space(2) |
| $$ | | $$ |
| Изменение кинетической энергии равно: | | Изменение кинетической энергии равно: |
| $$ | | $$ |
| dK = \frac{mdv^2}{2} = \frac{m}{2}(\frac{dr}{dt})^2\space\space\space(3) | | dK = \frac{mdv^2}{2} = \frac{m}{2}(\frac{dr}{dt})^2\space\space\space(3) |
| $$ | | $$ |
| Приравняв и преобразовав выражения $2$ и $3$, получим: | | Приравняв и преобразовав выражения $2$ и $3$, получим: |
| $$ | | $$ |
| dt = \lambda\sqrt{r^2dr}\space\space\space(4) | | dt = \lambda\sqrt{r^2dr}\space\space\space(4) |
| $$ | | $$ |
| где $$\lambda = (\frac{1}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_1q_2}{m})^{-2}$$ | | где $$\lambda = (\frac{1}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_1q_2}{m})^{-2}$$ |
| | | |
| Интегрируя выражение $4$ от $l$ до $2l$, мы получим $t_0$: | | Интегрируя выражение $4$ от $l$ до $2l$, мы получим $t_0$: |
| $$ | | $$ |
| t_0 = \lambda\sqrt{\int{r^2dr}} = \lambda\sqrt{\frac{7l^3}{3}}\space\space\space(5) | | t_0 = \lambda\sqrt{\int{r^2dr}} = \lambda\sqrt{\frac{7l^3}{3}}\space\space\space(5) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Аналогичные действия проводим для $kl$ и получим: | | Аналогичные действия проводим для $kl$ и получим: |
| $$ | | $$ |
| t_1 = \lambda\sqrt{\frac{7k^3l^3}{3}}\space\space\space(6) | | t_1 = \lambda\sqrt{\frac{7k^3l^3}{3}}\space\space\space(6) |
| $$ | | $$ |
| Разделив выражения $5$ и $6$, получим: | | Разделив выражения $5$ и $6$, получим: |
| $$ | | $$ |
| \frac{t_1}{t_0} = k^{\frac{3}{2}} | | \frac{t_1}{t_0} = k^{\frac{3}{2}} |
| $$ | | $$ |
| И получаем ответ: | | И получаем ответ: |
| $$ | | $$ |
| t_1 = k^{\frac{3}{2}}t_0 = 3\sqrt{3}t_0 | | t_1 = k^{\frac{3}{2}}t_0 = 3\sqrt{3}t_0 |
| $$ | | $$ |
