$7.4.19^*.$ Два заряда поместили на расстоянии $l$ друг от друга и отпустили. Через время $t_0$ расстояние между зарядами удвоилось. Эти же заряды поместили на расстоянии $3l$ и отпустили. Через какое время расстояние между зарядами удвоится?
### Решение
Разобьём пкркмещения шариков в обоих случмях на участки так, чтобы относительные перемещения были и в первом, и во втором случае одинаков. Относительное перемещение: $k = \frac{x}{x_0}$. Начальное расстояние $2x_0$, конечное - $2x$.
Если $k$ изменилось на $\Delta k$, то $\Delta x = \Delta kx_0$. Для первого случая $\Delta x_1 = \Delta k \frac{l}{2}$ ($2x_0 = l$), для второго - $\Delta x_2 = \Delta k \frac{3l}{2}$ ($2x_0 = 3l$). Тогда их отношение равно:
$$
\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} = 3
$$
Найдём отношения средних скоростей в конце в обоих случаях. Закон сохранения энергии для системы.
$$
mv^2 + k\frac{q^2}{2x} = k\frac{q^2}{2x_0}
$$
Тогда скорость:
$$
v = \sqrt{k\frac{q^2}{m}(\frac{x - x_0}{xx_0})} = \sqrt{k\frac{q^2}{m}(\frac{k-1}{kx_0})}
$$
Отношение скоростей в первом и во втором случаях:
$$
\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{3}
$$
Если $k$ изменится на $\Delta k$, то верно отношение для средних скоростей:
Решим задачу методом размерностей. Предположим, что время зависит от расстояния, от массы, от заряда и постоянной в законе Кулона. Размерности величин:
+
$$
+
dim \\ t = T
+
$$
+
$$
+
dim \\ m = M
+
$$
+
$$
+
dim \\ l = L
+
$$
+
$$
+
dim \\ q = IT
+
$$
+
$$
+
dim \\ k = ML^3T^{-4}I^{-2}
+
$$
+
Для упрощения:
+
$$
+
dim \\ kq^2 = ML^3T^{-2}
+
$$
+
Запишем зависимость:
+
$$
+
t = C\cdot l^x \cdot m^y \cdot (kq^2)^z \quad\Rightarrow\quad T = C\cdot L^x \cdot M^y \cdot (ML^3T^{-2})^z
+
$$
+
где $C$ - безразмерная константа. Найдём степени:
+
$$
+
-2z = 1
+
$$
+
$$
+
y + z = 0
+
$$
+
$$
+
x + 3z = 0
+
$$
+
Решая систему, получаем: $x = \frac{3}{2}$, $y = \frac{1}{2}$, $z = -\frac{1}{2}$. Тогда зависимость принимает вид:
$7.4.19^*.$ Два заряда поместили на расстоянии $l$ друг от друга и отпустили. Через время $t_0$ расстояние между зарядами удвоилось. Эти же заряды поместили на расстоянии $3l$ и отпустили. Через какое время расстояние между зарядами удвоится?
$7.4.19^*.$ Два заряда поместили на расстоянии $l$ друг от друга и отпустили. Через время $t_0$ расстояние между зарядами удвоилось. Эти же заряды поместили на расстоянии $3l$ и отпустили. Через какое время расстояние между зарядами удвоится?
### Решение
### Решение
Разобьём пкркмещения шариков в обоих случмях на участки так, чтобы относительные перемещения были и в первом, и во втором случае одинаков. Относительное перемещение: $k = \frac{x}{x_0}$. Начальное расстояние $2x_0$, конечное - $2x$.
Разобьём пкркмещения шариков в обоих случмях на участки так, чтобы относительные перемещения были и в первом, и во втором случае одинаков. Относительное перемещение: $k = \frac{x}{x_0}$. Начальное расстояние $2x_0$, конечное - $2x$.
Если $k$ изменилось на $\Delta k$, то $\Delta x = \Delta kx_0$. Для первого случая $\Delta x_1 = \Delta k \frac{l}{2}$ ($2x_0 = l$), для второго - $\Delta x_2 = \Delta k \frac{3l}{2}$ ($2x_0 = 3l$). Тогда их отношение равно:
Если $k$ изменилось на $\Delta k$, то $\Delta x = \Delta kx_0$. Для первого случая $\Delta x_1 = \Delta k \frac{l}{2}$ ($2x_0 = l$), для второго - $\Delta x_2 = \Delta k \frac{3l}{2}$ ($2x_0 = 3l$). Тогда их отношение равно:
$$
$$
\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} = 3
\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} = 3
$$
$$
Найдём отношения средних скоростей в конце в обоих случаях. Закон сохранения энергии для системы.
Найдём отношения средних скоростей в конце в обоих случаях. Закон сохранения энергии для системы.
$$
$$
mv^2 + k\frac{q^2}{2x} = k\frac{q^2}{2x_0}
mv^2 + k\frac{q^2}{2x} = k\frac{q^2}{2x_0}
$$
$$
Тогда скорость:
Тогда скорость:
$$
$$
v = \sqrt{k\frac{q^2}{m}(\frac{x - x_0}{xx_0})} = \sqrt{k\frac{q^2}{m}(\frac{k-1}{kx_0})}
v = \sqrt{k\frac{q^2}{m}(\frac{x - x_0}{xx_0})} = \sqrt{k\frac{q^2}{m}(\frac{k-1}{kx_0})}
$$
$$
Отношение скоростей в первом и во втором случаях:
Отношение скоростей в первом и во втором случаях:
$$
$$
\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{3}
\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{3}
$$
$$
Если $k$ изменится на $\Delta k$, то верно отношение для средних скоростей:
Если $k$ изменится на $\Delta k$, то верно отношение для средних скоростей:
Решим задачу методом размерностей. Предположим, что время зависит от расстояния, от массы, от заряда и постоянной в законе Кулона. Размерности величин:
$$
dim \\ t = T
$$
$$
dim \\ m = M
$$
$$
dim \\ l = L
$$
$$
dim \\ q = IT
$$
$$
dim \\ k = ML^3T^{-4}I^{-2}
$$
Для упрощения:
$$
dim \\ kq^2 = ML^3T^{-2}
$$
Запишем зависимость:
$$
t = C\cdot l^x \cdot m^y \cdot (kq^2)^z \quad\Rightarrow\quad T = C\cdot L^x \cdot M^y \cdot (ML^3T^{-2})^z
$$
где $C$ - безразмерная константа. Найдём степени:
$$
-2z = 1
$$
$$
y + z = 0
$$
$$
x + 3z = 0
$$
Решая систему, получаем: $x = \frac{3}{2}$, $y = \frac{1}{2}$, $z = -\frac{1}{2}$. Тогда зависимость принимает вид:
