Edit to “Решение”

Shrodinger_cat edited
View solution History
revision #15083 parent #13452 ← older newer →
ru/7.4.19.md +15 −35
@@ -4,58 +4,38 @@Условие
### Решение
−Небольшое изменение кинетической энергии равно работе, совершённой кулоновской силой на небольшом перемещении:
+Разобьём пкркмещения шариков в обоих случмях на участки так, чтобы относительные перемещения были и в первом, и во втором случае одинаков. Относительное перемещение: $k = \frac{x}{x_0}$. Начальное расстояние $2x_0$, конечное - $2x$.
+Если $k$ изменилось на $\Delta k$, то $\Delta x = \Delta kx_0$. Для первого случая $\Delta x_1 = \Delta k \frac{l}{2}$ ($2x_0 = l$), для второго - $\Delta x_2 = \Delta k \frac{3l}{2}$ ($2x_0 = 3l$). Тогда их отношение равно:
$$
−dK = dA\tag{1}
+\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} = 3
$$
−
−Работа кулоновской силы равна:
−
+Найдём отношения средних скоростей в конце в обоих случаях. Закон сохранения энергии для системы.
$$
−dA = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_1q_2}{r^2}dr \tag{2}
+mv^2 + k\frac{q^2}{2x} = k\frac{q^2}{2x_0}
$$
−
−Изменение кинетической энергии равно:
−
+Тогда скорость:
$$
−dK = \frac{mdv^2}{2} = \frac{m}{2}(\frac{dr}{dt})^2\tag{3}
+v = \sqrt{k\frac{q^2}{m}(\frac{x - x_0}{xx_0})} = \sqrt{k\frac{q^2}{m}(\frac{k-1}{kx_0})}
$$
−
−Приравняв и преобразовав выражения $(2)$ и $(3)$, получим:
−
+Отношение скоростей в первом и во втором случаях:
$$
−dt = \lambda\sqrt{r^2dr}\tag{4}
+\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{3}
$$
−
−где $$\lambda = (\frac{1}{2\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_1q_2}{m})^{-2}$$
−
−Интегрируя выражение $(4)$ от $l$ до $2l$, мы получим $t_0$:
−
+Если $k$ изменится на $\Delta k$, то верно отношение для средних скоростей:
$$
−t_0 = \lambda\sqrt{\int{r^2dr}} = \lambda\sqrt{\frac{7l^3}{3}}\tag{5}
+\frac{v_{ср1}}{v_{ср2}} = \sqrt{3}
$$
−
−Аналогичные действия проводим для $kl$ и получим:
−
+Время определяется:
$$
−t_1 = \lambda\sqrt{\frac{7k^3l^3}{3}}\tag{6}
+t = \frac{\Delta x}{v_{ср}}
$$
−
−Разделив выражения $(5)$ и $(6)$, получим:
−
+Тогда:
$$
−\frac{t_1}{t_0} = k^{\frac{3}{2}}
+\frac{t_1}{t_0} = \frac{\Delta x_2v_{ср1}}{\Delta x_1v_{ср2}} = 3\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad t_1 = 3\sqrt{3}t_0
$$
−
−И получаем ответ:
−
−$$
−t_1 = k^{\frac{3}{2}}t_0 = 3\sqrt{3}t_0
−$$
−
#### Ответ
$$
t_1 = 3\sqrt{3}t_0
$$