$2.1.53.$ В сферическую полость поместили гантель (два шарика массы $m$ каждый, соединенные невесомым стержнем) так, как это показано на рисунке. Определите силу давления шариков на стенки сразу же после того, как гантель отпустили. Радиус шариков гантели много меньше радиуса сферы.
### Решение
### Примечание
1. В условии не хватает информации о том, что шарики изначально находятся на горизонтальном и вертикальном диаметрах. Из оригинального рисунка это не совсем понятно.
2. Важно понять, что о равноускоренном движении речи не идет. Ускорение шариков будет меняться с течением времени, поскольку приложенные к шарикам силы будут менять и свое направление, и величину. Это не мешает, однако, записать второй закон Ньютона с использованием мгновенного ускорения для начальной ситуации.
3. Еще важнее понять, что ускорения шариков могут быть направлены по-разному относительно стержня.
@@ -17,8 +17,7 @@Примечание
4. Полное ускорение есть векторная сумма тангенциального и нормального ускорений. Нормальное ускорение (оно же центростремительное) в момент начала движения $(v=0)$ равно нулю, поскольку $a_n=\frac{v^2}{R}.$ Значит, полное ускорение совпадает с тангенциальным, то есть направлено по касательной к траектории, которой является граница полости. Таким образом, в начале движения мгновенное ускорение верхнего шарика направлено вертикально вниз, а ускорение нижнего шарика — горизонтально влево.
−
5. Поскольку шарики соединены стержнем постоянной длины,
−
проекции их мгновенных скоростей на стержень должны быть одинаковы:
+
5. Поскольку шарики соединены стержнем постоянной длины, проекции их мгновенных скоростей на стержень должны быть одинаковы:
$$v_1\cos\alpha=v_2\sin\alpha$$
$$v_1=v_2\tan\alpha$$
Угол $\alpha$ не меняется при движении стержня и всегда равен $45^\circ.$ Значит, в момент начала движения и проекции тангенциальных ускорений на стержень равны: $a_1=a_2\tan\alpha.$ Строго говоря, это следует из дифференцирования уравнения $v_1=v_2\tan\alpha$ по времени. Угол $\alpha=45^\circ,$ значит, тангенциальные ускорения шариков одинаковы по модулю.
@@ -28,8 +27,7 @@Примечание
В процессе движения у ускорений появится центростремительная компонента, но тангенциальные ускорения всегда будут равны по модулю. Уравнения (2) и (4) из исходной системы учитывают, что в начале движения центростремительная компонента ускорения равна нулю.
−
6. При желании можно показать, что и полные ускорения шариков будут равны при $\alpha=45^\circ.$
−
Однако отношение полных ускорений не равно $\tan\alpha.$
+
6. При желании можно показать, что и полные ускорения шариков будут равны при $\alpha=45^\circ.$ Однако отношение полных ускорений не равно $\tan\alpha.$
7. Поговорим о силах реакции $F_1$ и $F_2,$ действующих со стороны стержня на шарики.
Попробуйте ответить на вопрос: почему они равны и направлены вдоль стержня?
Для этого надо рассмотреть парные по третьему закону Ньютона силы $F'_1$ и $F'_2,$
действующие со стороны шариков на стержень. Эти силы должны компенсировать друг друга, иначе невесомый стержень $(m_{ст}=0)$ будет иметь бесконечно большое ускорение:
Также эти силы должны быть направлены вдоль стержня, иначе из-за нескомпенсированного момента сил невесомый стержень приобретет бесконечно большое угловое ускорение.
unchanged lines 6
### Условие:
### Условие:
$2.1.53.$ В сферическую полость поместили гантель (два шарика массы $m$ каждый, соединенные невесомым стержнем) так, как это показано на рисунке. Определите силу давления шариков на стенки сразу же после того, как гантель отпустили. Радиус шариков гантели много меньше радиуса сферы.
$2.1.53.$ В сферическую полость поместили гантель (два шарика массы $m$ каждый, соединенные невесомым стержнем) так, как это показано на рисунке. Определите силу давления шариков на стенки сразу же после того, как гантель отпустили. Радиус шариков гантели много меньше радиуса сферы.
### Решение
### Решение
### Примечание
### Примечание
1. В условии не хватает информации о том, что шарики изначально находятся на горизонтальном и вертикальном диаметрах. Из оригинального рисунка это не совсем понятно.
1. В условии не хватает информации о том, что шарики изначально находятся на горизонтальном и вертикальном диаметрах. Из оригинального рисунка это не совсем понятно.
2. Важно понять, что о равноускоренном движении речи не идет. Ускорение шариков будет меняться с течением времени, поскольку приложенные к шарикам силы будут менять и свое направление, и величину. Это не мешает, однако, записать второй закон Ньютона с использованием мгновенного ускорения для начальной ситуации.
2. Важно понять, что о равноускоренном движении речи не идет. Ускорение шариков будет меняться с течением времени, поскольку приложенные к шарикам силы будут менять и свое направление, и величину. Это не мешает, однако, записать второй закон Ньютона с использованием мгновенного ускорения для начальной ситуации.
3. Еще важнее понять, что ускорения шариков могут быть направлены по-разному относительно стержня.
3. Еще важнее понять, что ускорения шариков могут быть направлены по-разному относительно стержня.
@@ -17,8 +17,7 @@Примечание
4. Полное ускорение есть векторная сумма тангенциального и нормального ускорений. Нормальное ускорение (оно же центростремительное) в момент начала движения $(v=0)$ равно нулю, поскольку $a_n=\frac{v^2}{R}.$ Значит, полное ускорение совпадает с тангенциальным, то есть направлено по касательной к траектории, которой является граница полости. Таким образом, в начале движения мгновенное ускорение верхнего шарика направлено вертикально вниз, а ускорение нижнего шарика — горизонтально влево.
4. Полное ускорение есть векторная сумма тангенциального и нормального ускорений. Нормальное ускорение (оно же центростремительное) в момент начала движения $(v=0)$ равно нулю, поскольку $a_n=\frac{v^2}{R}.$ Значит, полное ускорение совпадает с тангенциальным, то есть направлено по касательной к траектории, которой является граница полости. Таким образом, в начале движения мгновенное ускорение верхнего шарика направлено вертикально вниз, а ускорение нижнего шарика — горизонтально влево.
5. Поскольку шарики соединены стержнем постоянной длины,
5. Поскольку шарики соединены стержнем постоянной длины, проекции их мгновенных скоростей на стержень должны быть одинаковы:
проекции их мгновенных скоростей на стержень должны быть одинаковы:
$$v_1\cos\alpha=v_2\sin\alpha$$
$$v_1\cos\alpha=v_2\sin\alpha$$
$$v_1=v_2\tan\alpha$$
$$v_1=v_2\tan\alpha$$
Угол $\alpha$ не меняется при движении стержня и всегда равен $45^\circ.$ Значит, в момент начала движения и проекции тангенциальных ускорений на стержень равны: $a_1=a_2\tan\alpha.$ Строго говоря, это следует из дифференцирования уравнения $v_1=v_2\tan\alpha$ по времени. Угол $\alpha=45^\circ,$ значит, тангенциальные ускорения шариков одинаковы по модулю.
Угол $\alpha$ не меняется при движении стержня и всегда равен $45^\circ.$ Значит, в момент начала движения и проекции тангенциальных ускорений на стержень равны: $a_1=a_2\tan\alpha.$ Строго говоря, это следует из дифференцирования уравнения $v_1=v_2\tan\alpha$ по времени. Угол $\alpha=45^\circ,$ значит, тангенциальные ускорения шариков одинаковы по модулю.
@@ -28,8 +27,7 @@Примечание
В процессе движения у ускорений появится центростремительная компонента, но тангенциальные ускорения всегда будут равны по модулю. Уравнения (2) и (4) из исходной системы учитывают, что в начале движения центростремительная компонента ускорения равна нулю.
В процессе движения у ускорений появится центростремительная компонента, но тангенциальные ускорения всегда будут равны по модулю. Уравнения (2) и (4) из исходной системы учитывают, что в начале движения центростремительная компонента ускорения равна нулю.
6. При желании можно показать, что и полные ускорения шариков будут равны при $\alpha=45^\circ.$
6. При желании можно показать, что и полные ускорения шариков будут равны при $\alpha=45^\circ.$ Однако отношение полных ускорений не равно $\tan\alpha.$
Однако отношение полных ускорений не равно $\tan\alpha.$
7. Поговорим о силах реакции $F_1$ и $F_2,$ действующих со стороны стержня на шарики.
7. Поговорим о силах реакции $F_1$ и $F_2,$ действующих со стороны стержня на шарики.
Попробуйте ответить на вопрос: почему они равны и направлены вдоль стержня?
Попробуйте ответить на вопрос: почему они равны и направлены вдоль стержня?
Для этого надо рассмотреть парные по третьему закону Ньютона силы $F'_1$ и $F'_2,$
Для этого надо рассмотреть парные по третьему закону Ньютона силы $F'_1$ и $F'_2,$
действующие со стороны шариков на стержень. Эти силы должны компенсировать друг друга, иначе невесомый стержень $(m_{ст}=0)$ будет иметь бесконечно большое ускорение:
действующие со стороны шариков на стержень. Эти силы должны компенсировать друг друга, иначе невесомый стержень $(m_{ст}=0)$ будет иметь бесконечно большое ускорение:
Также эти силы должны быть направлены вдоль стержня, иначе из-за нескомпенсированного момента сил невесомый стержень приобретет бесконечно большое угловое ускорение.
Также эти силы должны быть направлены вдоль стержня, иначе из-за нескомпенсированного момента сил невесомый стержень приобретет бесконечно большое угловое ускорение.