| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $2.1.53.$ В сферическую полость поместили гантель (два шарика массы $m$ каждый, соединенные невесомым стержнем) так, как это показано на рисунке. Определите силу давления шариков на стенки сразу же после того, как гантель отпустили. Радиус шариков гантели много меньше радиуса сферы. | | $2.1.53.$ В сферическую полость поместили гантель (два шарика массы $m$ каждый, соединенные невесомым стержнем) так, как это показано на рисунке. Определите силу давления шариков на стенки сразу же после того, как гантель отпустили. Радиус шариков гантели много меньше радиуса сферы. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Примечание | | ### Примечание |
| 1. В условии не хватает информации о том, что шарики изначально находятся на горизонтальном и вертикальном диаметрах. Из оригинального рисунка это не совсем понятно. | | 1. В условии не хватает информации о том, что шарики изначально находятся на горизонтальном и вертикальном диаметрах. Из оригинального рисунка это не совсем понятно. |
| | | |
| 2. Важно понять, что о равноускоренном движении речи не идет. Ускорение шариков будет меняться с течением времени, поскольку приложенные к шарикам силы будут менять и свое направление, и величину. Это не мешает, однако, записать второй закон Ньютона с использованием мгновенного ускорения для начальной ситуации. | | 2. Важно понять, что о равноускоренном движении речи не идет. Ускорение шариков будет меняться с течением времени, поскольку приложенные к шарикам силы будут менять и свое направление, и величину. Это не мешает, однако, записать второй закон Ньютона с использованием мгновенного ускорения для начальной ситуации. |
| | | |
| 3. Еще важнее понять, что ускорения шариков могут быть направлены по-разному относительно стержня. | | 3. Еще важнее понять, что ускорения шариков могут быть направлены по-разному относительно стержня. |
| | | |
| 4. Полное ускорение есть векторная сумма тангенциального и нормального ускорений. Нормальное ускорение (оно же центростремительное) в момент начала движения $(v=0)$ равно нулю, поскольку $a_n=\frac{v^2}{R}.$ Значит, полное ускорение совпадает с тангенциальным, то есть направлено по касательной к траектории, которой является граница полости. Таким образом, в начале движения мгновенное ускорение верхнего шарика направлено вертикально вниз, а ускорение нижнего шарика — горизонтально влево. | | 4. Полное ускорение есть векторная сумма тангенциального и нормального ускорений. Нормальное ускорение (оно же центростремительное) в момент начала движения $(v=0)$ равно нулю, поскольку $a_n=\frac{v^2}{R}.$ Значит, полное ускорение совпадает с тангенциальным, то есть направлено по касательной к траектории, которой является граница полости. Таким образом, в начале движения мгновенное ускорение верхнего шарика направлено вертикально вниз, а ускорение нижнего шарика — горизонтально влево. |
| | | |
| 5. Поскольку шарики соединены стержнем постоянной длины, проекции их мгновенных скоростей на стержень должны быть одинаковы: | | 5. Поскольку шарики соединены стержнем постоянной длины, проекции их мгновенных скоростей на стержень должны быть одинаковы: |
| | | |
| $$v_1\cos\alpha=v_2\sin\alpha$$ | | $$v_1\cos\alpha=v_2\sin\alpha$$ |
| | | |
| $$v_1=v_2\tan\alpha$$ | | $$v_1=v_2\tan\alpha$$ |
| | | |
| Угол $\alpha$ не меняется при движении стержня и всегда равен $45^\circ.$ Значит, в момент начала движения и проекции тангенциальных ускорений на стержень равны: $a_1=a_2\tan\alpha.$ Строго говоря, это следует из дифференцирования уравнения $v_1=v_2\tan\alpha$ по времени. Угол $\alpha=45^\circ,$ значит, тангенциальные ускорения шариков одинаковы по модулю. | | Угол $\alpha$ не меняется при движении стержня и всегда равен $45^\circ.$ Значит, в момент начала движения и проекции тангенциальных ускорений на стержень равны: $a_1=a_2\tan\alpha.$ Строго говоря, это следует из дифференцирования уравнения $v_1=v_2\tan\alpha$ по времени. Угол $\alpha=45^\circ,$ значит, тангенциальные ускорения шариков одинаковы по модулю. |
| | | |
| В процессе движения у ускорений появится центростремительная компонента, но тангенциальные ускорения всегда будут равны по модулю. Уравнения (2) и (4) из исходной системы учитывают, что в начале движения центростремительная компонента ускорения равна нулю. | | В процессе движения у ускорений появится центростремительная компонента, но тангенциальные ускорения всегда будут равны по модулю. Уравнения (2) и (4) из исходной системы учитывают, что в начале движения центростремительная компонента ускорения равна нулю. |
| | | |
| 6. При желании можно показать, что и полные ускорения шариков будут равны при $\alpha=45^\circ.$ Однако отношение полных ускорений не равно $\tan\alpha.$ | | 6. При желании можно показать, что и полные ускорения шариков будут равны при $\alpha=45^\circ.$ Однако отношение полных ускорений не равно $\tan\alpha.$ |
| | | |
| 7. Поговорим о силах реакции $F_1$ и $F_2,$ действующих со стороны стержня на шарики. | | 7. Поговорим о силах реакции $F_1$ и $F_2,$ действующих со стороны стержня на шарики. |
| Попробуйте ответить на вопрос: почему они равны и направлены вдоль стержня? | | Попробуйте ответить на вопрос: почему они равны и направлены вдоль стержня? |
| Для этого надо рассмотреть парные по третьему закону Ньютона силы $F'_1$ и $F'_2,$ | | Для этого надо рассмотреть парные по третьему закону Ньютона силы $F'_1$ и $F'_2,$ |
| действующие со стороны шариков на стержень. Эти силы должны компенсировать друг друга, иначе невесомый стержень $(m_{ст}=0)$ будет иметь бесконечно большое ускорение: | | действующие со стороны шариков на стержень. Эти силы должны компенсировать друг друга, иначе невесомый стержень $(m_{ст}=0)$ будет иметь бесконечно большое ускорение: |
| | | |
