Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

Ismail edited
View solution History
revision #13296 parent #13137 ← older newer →
ru/2.6.52.md +54 −36
@@ -1,44 +1,62 @@
### Условие
−$2.6.52.$ [Вставьте описание задачи]
+$2.6.52.$ Две соприкасающиеся шаровые глыбы массы $m$ ирадиуса $r$ каждая движутся по круговой орбите вокруг планеты массы $M$. Центры глыб находятся на одном радиусе, расстояние от точки их соприкосновения до центра планеты $R$. С какой силой давит одна глыба на другую? При каком радиусе орбиты взаимное притяжение глыб перестанет удерживать их вместе? Радиус планеты $R_0 ≫r$. Плотность глыб примите равной средней плотности планеты.
−__Пример условия__:
−$1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа.
−
−
### Решение
+Запишем силу дейстыущие на крайнюю глыбу в две стороны:
+$$
+N+m\omega²(R+r)=\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}
+$$
+Выразим квадрат угловой скорости(он будет таким же лля второй глыбы):
+$$
+\omega²=\frac{\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}-N}{m(R+r)}
+$$
+Запишем силы на вторую глыбу:
+$$
+\frac{\gamma m²}{4r²}+m\omega²(R-r)=\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N
+$$
+Выразим квадрат угловой скорости:
+$$
+\omega²=\frac{\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N-\frac{\gamma m²}{4r²}}{m(R-r)}
+$$
+Приравняем:
+$$
+\frac{\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N-\frac{\gamma m²}{4r²}}{m(R-r)}=\frac{\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}-N}{m(R+r)}
+$$
+При решении, получим такой ответ:
+$$
+\boxed{N=\frac{\gamma m²}{4r²}-\frac{\gamma mM(3R²r+r³)}{(R²-r²)²}}
+$$
+Когда глыбы перестанут удерживаться, сила друг на друга будет равна нулю:
+$$
+N=0
+$$
+Т.к. масса глыб и планеты связаны с кубом их радиусов, с учётом равенства их плотностей, можем записать такое уравнение:
+$$
+\frac{r³}{4r²}-\frac{r_0³(3R_\text{орб.}²r+r³)}{R_\text{орб.}(R_\text{орб.}²-r²)²}=0
+$$
−[Здесь должно быть ваше решение]
+$$
+rR_\text{орб.}(R_\text{орб.}²-r²)²=4r_0³(3R_\text{орб.}²r+r)
+$$
+Из условия задачи ясно, что:
+$$
+r_0\gg r \Rightarrow R_\text{орб.}\gg r
+$$
+Используем:
+$$
+rR_\text{орб.}⁵=12r_0³R_\text{орб.}²r
+$$
+Получем ответ:
+$$
+\boxed{R_\text{орб.}=r_0(12)⅓}
+$$
−__Пример решения__:
−Ускорение тела задано как
−
−$$a(t) = bt$$
−
−Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени:
−
−$$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$
−
−Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени:
−
−$$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$
−
−Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится:
−
−$$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$
−
−Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени:
−
−$$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$
−
−Откуда координата от времени, учитывая начальные условия:
−
−$$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$
−
#### Ответ
+$$
+N=\frac{\gamma m²}{4r²}-\frac{\gamma mM(3R²r+r³)}{(R²-r²)²}
+$$
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:]
−
−
−__Пример ответа__:
−$$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$
+$$
+R_\text{орб.}=r_0(12)⅓
+$$