| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $2.6.52.$ Две соприкасающиеся шаровые глыбы массы $m$ ирадиуса $r$ каждая движутся по круговой орбите вокруг планеты массы $M$. Центры глыб находятся на одном радиусе, расстояние от точки их соприкосновения до центра планеты $R$. С какой силой давит одна глыба на другую? При каком радиусе орбиты взаимное притяжение глыб перестанет удерживать их вместе? Радиус планеты $R_0 ≫r$. Плотность глыб примите равной средней плотности планеты. | | $2.6.52.$ Две соприкасающиеся шаровые глыбы массы $m$ ирадиуса $r$ каждая движутся по круговой орбите вокруг планеты массы $M$. Центры глыб находятся на одном радиусе, расстояние от точки их соприкосновения до центра планеты $R$. С какой силой давит одна глыба на другую? При каком радиусе орбиты взаимное притяжение глыб перестанет удерживать их вместе? Радиус планеты $R_0 ≫r$. Плотность глыб примите равной средней плотности планеты. |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| Запишем силу дейстыущие на крайнюю глыбу в две стороны: | | Запишем силу дейстыущие на крайнюю глыбу в две стороны: |
| $$ | | $$ |
| N+m\omega²(R+r)=\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²} | | N+m\omega²(R+r)=\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²} |
| $$ | | $$ |
| Выразим квадрат угловой скорости(он будет таким же лля второй глыбы): | | Выразим квадрат угловой скорости(он будет таким же лля второй глыбы): |
| $$ | | $$ |
| \omega²=\frac{\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}-N}{m(R+r)} | | \omega²=\frac{\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}-N}{m(R+r)} |
| $$ | | $$ |
| Запишем силы на вторую глыбу: | | Запишем силы на вторую глыбу: |
| $$ | | $$ |
| \frac{\gamma m²}{4r²}+m\omega²(R-r)=\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N | | \frac{\gamma m²}{4r²}+m\omega²(R-r)=\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N |
| $$ | | $$ |
| Выразим квадрат угловой скорости: | | Выразим квадрат угловой скорости: |
| $$ | | $$ |
| \omega²=\frac{\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N-\frac{\gamma m²}{4r²}}{m(R-r)} | | \omega²=\frac{\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N-\frac{\gamma m²}{4r²}}{m(R-r)} |
| $$ | | $$ |
| Приравняем: | | Приравняем: |
| $$ | | $$ |
| \frac{\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N-\frac{\gamma m²}{4r²}}{m(R-r)}=\frac{\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}-N}{m(R+r)} | | \frac{\frac{\gamma Mm}{(R-r)²}+N-\frac{\gamma m²}{4r²}}{m(R-r)}=\frac{\frac{\gamma m²}{4r²}+\frac{\gamma Mm}{(R+r)²}-N}{m(R+r)} |
| $$ | | $$ |
| При решении, получим такой ответ: | | При решении, получим такой ответ: |
| $$ | | $$ |
| \boxed{N=\frac{\gamma m²}{4r²}-\frac{\gamma mM(3R²r+r³)}{(R²-r²)²}} | | \boxed{N=\frac{\gamma m²}{4r²}-\frac{\gamma mM(3R²r+r³)}{(R²-r²)²}} |
| $$ | | $$ |
| Когда глыбы перестанут удерживаться, сила друг на друга будет равна нулю: | | Когда глыбы перестанут удерживаться, сила друг на друга будет равна нулю: |
| $$ | | $$ |
| N=0 | | N=0 |
| $$ | | $$ |
| Т.к. масса глыб и планеты связаны с кубом их радиусов, с учётом равенства их плотностей, можем записать такое уравнение: | | Т.к. масса глыб и планеты связаны с кубом их радиусов, с учётом равенства их плотностей, можем записать такое уравнение: |
| $$ | | $$ |
| \frac{r³}{4r²}-\frac{r_0³(3R_\text{орб.}²r+r³)}{R_\text{орб.}(R_\text{орб.}²-r²)²}=0 | | \frac{r³}{4r²}-\frac{r_0³(3R_\text{орб.}²r+r³)}{R_\text{орб.}(R_\text{орб.}²-r²)²}=0 |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| rR_\text{орб.}(R_\text{орб.}²-r²)²=4r_0³(3R_\text{орб.}²r+r) | | rR_\text{орб.}(R_\text{орб.}²-r²)²=4r_0³(3R_\text{орб.}²r+r) |
| $$ | | $$ |
| Из условия задачи ясно, что: | | Из условия задачи ясно, что: |
| $$ | | $$ |
| r_0\gg r \Rightarrow R_\text{орб.}\gg r | | r_0\gg r \Rightarrow R_\text{орб.}\gg r |
| $$ | | $$ |
| Используем: | | Используем: |
| $$ | | $$ |
| rR_\text{орб.}⁵=12r_0³R_\text{орб.}²r | | rR_\text{орб.}⁵=12r_0³R_\text{орб.}²r |
