| @@ -1,14 +1,51 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.5.38.$ [Вставьте условие задачи] |
| | + | $2.5.38.$ По одной прямой на гладкой горизонтальной плоскости с равными промежутками расположены бруски массы $m$ каждый. К первому из брусков |
| | + | прикладывают постоянную горизонтальную силу $F$. Определите скорость брусков перед $n$-м соударением и сразу после него. Рассмотрите предельное значение |
| | + | скорости при $n$, стремящемся к бесконечности, если ширина промежутков между |
| | + | брусками равна $l$. Удары брусков абсолютно неупругие. |
| | | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | − | По одной прямой на гладкой горизонтальной плоскости с равными промежутками расположены бруски массы m каждый. К первому из брусков |
| | − | прикладывают постоянную горизонтальную силу F. Определите скорость брусков перед n-м соударением и сразу после него. Рассмотрите предельное значение |
| | − | скорости при n, стремящемся к бесконечности, если ширина промежутков между |
| | − | брусками равна l. Удары брусков абсолютно неупругие. |
| | − | |
| | + | Для определения закономерности рассмотрим первые два соударения. Сила будет совершать работу, увеличивая скорость до соударения. Запишем Закон изменения энергии до первого соударения и найдём скорость: |
| | + | $$ |
| | + | Fl = \frac{mv_1'^2}{2} |
| | + | $$ |
| | + | $$ |
| | + | v_1' = \sqrt{\frac{2Fl}{m}} |
| | + | $$ |
| | + | Запишем закон сохранения импульса до и после соударения и найдём конечную скорость: |
| | + | $$ |
| | + | mv_1' = 2mv_2 |
| | + | $$ |
| | + | $$ |
| | + | v_2 = \frac{v_1'}{2} |
| | + | $$ |
| | + | Аналогичные действия проводим для второго соударения и получим: |
| | + | $$ |
| | + | v_2' = \sqrt{\frac{3Fl}{2m}} |
| | + | $$ |
| | + | $$ |
| | + | v_3 = \frac{2v_2'}{3} |
| | + | $$ |
| | + | Видно, что: |
| | + | $$ |
| | + | v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} |
| | + | $$ |
| | + | $$ |
| | + | v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}} |
| | + | $$ |
| | + | Возьмём предел от последовательности $v_n$ при $n\rightarrow\infty$: |
| | + | $$ |
| | + | v = lim\sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}} |
| | + | $$ |
| | | #### Ответ |
| | − | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] |
| | + | $$ |
| | + | v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} |
| | + | $$ |
| | + | $$ |
| | + | v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}} |
| | + | $$ |
| | + | $$ |
| | + | v = lim\sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}} |
| | + | $$ |
