Edit to “Условие”
ru/2.5.38.md
+2 −1
| @@ -1,9 +1,10 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $2.5.38.$ По одной прямой на гладкой горизонтальной плоскости с равными промежутками расположены бруски массы $m$ каждый. К первому из брусков | ||
| + | $2.5.38^*.$ По одной прямой на гладкой горизонтальной плоскости с равными промежутками расположены бруски массы $m$ каждый. К первому из брусков | ||
| прикладывают постоянную горизонтальную силу $F$. Определите скорость брусков перед $n$-м соударением и сразу после него. Рассмотрите предельное значение | |||
| скорости при $n$, стремящемся к бесконечности, если ширина промежутков между | |||
| брусками равна $l$. Удары брусков абсолютно неупругие. | |||
| + |  | ||
| ### Решение | |||
| Для определения закономерности рассмотрим первые два соударения. Сила будет совершать работу, увеличивая скорость до соударения. Запишем Закон изменения энергии до первого соударения и найдём скорость: | |||
| $$ | |||
| Fl = \frac{mv_1'^2}{2} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| v_1' = \sqrt{\frac{2Fl}{m}} | |||
| $$ | |||
| Запишем закон сохранения импульса до и после соударения и найдём конечную скорость: | |||
| $$ | |||
| mv_1' = 2mv_2 | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| v_2 = \frac{v_1'}{2} | |||
| $$ | |||
| Аналогичные действия проводим для второго соударения и получим: | |||
| $$ | |||
| v_2' = \sqrt{\frac{3Fl}{2m}} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| v_3 = \frac{2v_2'}{3} | |||
| $$ | |||
| Видно, что: | |||
| $$ | |||
| v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}} | |||
| $$ | |||
| Возьмём предел от последовательности $v_n$ при $n\rightarrow\infty$: | |||
| $$ | |||
| v = lim\sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}} | |||
| $$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| v = lim\sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}} | |||
| $$ | |||
| unchanged lines 42 | |||
| @@ -1,9 +1,10 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.5.38.$ По одной прямой на гладкой горизонтальной плоскости с равными промежутками расположены бруски массы $m$ каждый. К первому из брусков | $2.5.38^*.$ По одной прямой на гладкой горизонтальной плоскости с равными промежутками расположены бруски массы $m$ каждый. К первому из брусков | ||
| прикладывают постоянную горизонтальную силу $F$. Определите скорость брусков перед $n$-м соударением и сразу после него. Рассмотрите предельное значение | прикладывают постоянную горизонтальную силу $F$. Определите скорость брусков перед $n$-м соударением и сразу после него. Рассмотрите предельное значение | ||
| скорости при $n$, стремящемся к бесконечности, если ширина промежутков между | скорости при $n$, стремящемся к бесконечности, если ширина промежутков между | ||
| брусками равна $l$. Удары брусков абсолютно неупругие. | брусками равна $l$. Удары брусков абсолютно неупругие. | ||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Для определения закономерности рассмотрим первые два соударения. Сила будет совершать работу, увеличивая скорость до соударения. Запишем Закон изменения энергии до первого соударения и найдём скорость: | Для определения закономерности рассмотрим первые два соударения. Сила будет совершать работу, увеличивая скорость до соударения. Запишем Закон изменения энергии до первого соударения и найдём скорость: | ||
| $$ | $$ | ||
| Fl = \frac{mv_1'^2}{2} | Fl = \frac{mv_1'^2}{2} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| v_1' = \sqrt{\frac{2Fl}{m}} | v_1' = \sqrt{\frac{2Fl}{m}} | ||
| $$ | $$ | ||
| Запишем закон сохранения импульса до и после соударения и найдём конечную скорость: | Запишем закон сохранения импульса до и после соударения и найдём конечную скорость: | ||
| $$ | $$ | ||
| mv_1' = 2mv_2 | mv_1' = 2mv_2 | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| v_2 = \frac{v_1'}{2} | v_2 = \frac{v_1'}{2} | ||
| $$ | $$ | ||
| Аналогичные действия проводим для второго соударения и получим: | Аналогичные действия проводим для второго соударения и получим: | ||
| $$ | $$ | ||
| v_2' = \sqrt{\frac{3Fl}{2m}} | v_2' = \sqrt{\frac{3Fl}{2m}} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| v_3 = \frac{2v_2'}{3} | v_3 = \frac{2v_2'}{3} | ||
| $$ | $$ | ||
| Видно, что: | Видно, что: | ||
| $$ | $$ | ||
| v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} | v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}} | v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}} | ||
| $$ | $$ | ||
| Возьмём предел от последовательности $v_n$ при $n\rightarrow\infty$: | Возьмём предел от последовательности $v_n$ при $n\rightarrow\infty$: | ||
| $$ | $$ | ||
| v = lim\sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}} | v = lim\sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}} | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} | v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}} | v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| v = lim\sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}} | v = lim\sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}} | ||
| $$ | $$ | ||
| unchanged lines 42 | |||